Giaitoan.com Toán 11

y=sin^4x+cos^4x Hàm số lượng giác

Nội dung
  • 9 Đánh giá

sin^4x+cos^4x

Hàm số lượng giác lớp 11 đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán lượng giác Toán 11. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề lượng giác lớp 11. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

A. Tập xác định của hàm số y=sin^4x+cos^4x

Tập xác định của hàm số là: D = \mathbb{R}

B. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin^4x+cos^4x

Ta có:

y = (sin²x)2 + (cos²x)2

y = sin2x + 2sin²xcos²x + cos2x - 2sin²xcos²x

y = (sin2x + 2sin²xcos²x + cos2x) - 2sin²xcos²x

y = (sin²x + cos²x)² - 2sin²xcos²x

y = 1 - 2sin²xcos²x

y = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x

y = 1 - \frac{1}{4}\left( {1 - \cos 4x} \right)

y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x

Ta có: -1 ≤ cos4x ≤ 1

\begin{matrix} \Rightarrow - \dfrac{1}{4} \leqslant \dfrac{1}{4}\cos 4x \leqslant \dfrac{1}{4} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} \leqslant \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\cos 4x \leqslant \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\cos 4x \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leqslant {\sin ^4}x + {\cos ^4}x \leqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}

Giá trị lớn nhất của y = sin^4x+cos^4x là

Giá trị nhỏ nhất của y = sin^4x+cos^4x là 1

C. Đồ thị hàm số y=sin^4x+cos^4x

y=sin^4x+cos^4x

D. Đạo hàm y=sin^4x+cos^4x

y = sin4x+cos4x

=> y’ = (sin4x+cos4x)’

=> y’ = 4sin3x. cosx + 4cos3x . (-sinx)

= 4sin3x. cosx - 4cos3x . sinx

= 4sinx . cosx . (sin3x – cos3x)

= 4sinx . cosx . (sinx – cosx).(sin2x + 3sinx.cosx + cos2x)

= 4sinx . cosx . (sinx – cosx).(1 + 3sinx.cosx)

= 2. sin2x . (sinx – cosx).(1 + 3sinx.cosx)

E. Giải phương trình lượng giác sin4x; cos4x

Ví dụ 1: Giải phương trình:

sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có:

sin3x – cos3x = (sinx – cosx).(sin2x + cos2x+ sinx.cosx)

sin4x – cos4x = (sin2x – cos2x).(sin2x + cos2x) = - cos2x

Ta biến đổi phương trình như sau:

sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x

=> sinx – cosx + sin2x – cos2x + sin3x – cos3x + sin4x – cos4x = 0

=> sinx – cosx – cos2x + (sinx – cosx).(sin2x + cos2x+ sinx.cosx) - cos2x = 0

=> sinx – cosx – 2cos2x + (sinx – cosx).(1 + sinx.cosx) = 0

=> (sinx – cosx).[1 + 2(sinx + cosx) + 1 + sinx.cosx] = 0

=> sinx – cosx = 0 hoặc 1 + 2(sinx + cosx) + 1 + sinx.cosx = 0

Trường hợp 1:

sinx – cosx = 0

Giải phương trình ta được x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Trường hợp 2:

1 + 2(sinx + cosx) + 1 + sinx.cosx = 0 (*)

Đặt sinx + cosx = t (điều kiện \left| t \right| \leqslant \sqrt 2)

=> sinx.cosx = \frac{{{t^2} - 1}}{2}

Biến đổi phương trình (*) ta được:

2t + \frac{{{t^2} - 1}}{2} + 2 = 0 \Rightarrow {t^2} + 4t + 3 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = - 1} \\ {t = - 3\left( L \right)} \end{array}} \right.

=> sinx + cosx = -1

=> \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi } \\ {x = \pi + k2\pi } \end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.

Vậy phương trình có ba họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

sin4x + cos4x + sinx.cosx = 0

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có:

Sinx.cosx = 1/2.sin2x

sin4x + cos4x = 1 - 2sin²xcos²x = 1 – 1/2 .sin22x

Thay vào phương trình ta có:

1 – 1/2 .sin22x+ 1/2.sin2x= 0

=> 2 – sin22x + sin2x = 0

=> sin2x = 2 (loại) hoặc sin2x = -1 (thỏa mãn)

Với sin2x = -1

=> 2x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

=> x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Kết luận phương trình có một họ nghiệm

----------------------------------------------------

Hi vọng Các dạng bài tập hàm số lượng giác lớp 11 là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Một số tài liệu liên quan:

  • 19.235 lượt xem
Chia sẻ bởi: Bọ Cạp
Tìm thêm: Toán 11 Chuyên đề Toán 11
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Xem thêm bài viết khác

    Xem thêm Toán 11

    Chủ đề liên quan

    Chuyên đề Toán 11