Phương trình lượng giác cơ bản Giải phương trình lượng giác

Nội dung Tải về
  • 4 Đánh giá

GiaiToan.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Bài tập phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 có đáp án. Bộ tài liệu gồm câu hỏi bài tập các dạng bài thường gặp trong các kì thi, kiểm tra trong chương trình Giải tích 11. Tài liệu được GiaiToan biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời thầy cô và học sinh cùng tham khảo!

Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

1. Phương trình sin x = a  (1)

+ Nếu \left| a \right| > 1 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu \left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta  \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right],\sin \beta  = a

(1) \Rightarrow \sin x = \sin \beta  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = \beta  + k2\pi } \\ 
  {x = \pi  - \beta  + k2\pi } 
\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \beta  = \arcsin a

Một số phương trình đặc biệt

Mở rộng phương trình

a. \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

b. \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb{Z})

c. \sin x =  - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

\begin{matrix}
  \sin f(x) = \sin g(x) \hfill \\
   \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x) = g(x) + k2\pi } \\ 
  {f(x) = \pi  - g(x) + k2\pi } 
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right. \hfill \\ 
\end{matrix}

2. Phương trình cos x = a (2)

+ Nếu \left| a \right| > 1 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu \left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta  \in \left[ {0,\pi } \right],\cos \beta  = a

(2) \Rightarrow \cos x = \cos \beta  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = \beta  + k2\pi } \\ 
  {x =  - \beta  + k2\pi } 
\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \beta  = \arccos a

Một số phương trình đặc biệt

Mở rộng phương trình ta có

a. \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})

b. \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in \mathbb{Z})

c. \cos x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \pi  + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

\begin{matrix}
  \cos f(x) = \cos g(x) \hfill \\
   \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x) = g(x) + k2\pi } \\ 
  {f(x) =  - g(x) + k2\pi } 
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right. \hfill \\ 
\end{matrix}

3. Phương trình tan x = a (3)

+ Với \forall m \Rightarrow \exists \alpha  \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2},\frac{\pi }{2}} \right),\tan \beta  = a

\begin{matrix}
  (3) \Leftrightarrow \tan x = \tan \beta  \Leftrightarrow x = \beta  + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
  \beta  = \arctan a \hfill \\ 
\end{matrix}

Một số phương trình đặc biệt

Mở rộng phương trình

a. \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi

b. \tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi

c. \tan x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi

\begin{matrix}
  \tan f(x) = \tan g(x) \hfill \\
   \Leftrightarrow f(x) = g(x) + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\ 
\end{matrix}

4. Phương trình cot x = a (4)

+ Với \forall m \Rightarrow \exists \alpha  \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2},\frac{\pi }{2}} \right),\cot \beta  = a

\begin{matrix}
  (4) \Leftrightarrow \cot x = \cot \beta  \Leftrightarrow x = \beta  + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
  \beta  = \operatorname{arccot} a \hfill \\ 
\end{matrix}

Một số phương trình đặc biệt

Mở rộng phương trình

a. \cot x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z})

b. \cot x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})

c. \cot x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \pi  + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

\begin{matrix}
  \cot f(x) = \cot g(x) \hfill \\
   \Leftrightarrow f(x) = g(x) + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\ 
\end{matrix}

5. Bài tập phường trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a. {\text{sinx}} = \sin \frac{\pi }{3}

b. \operatorname{s} {\text{inx}} = \cos \frac{\pi }{3}

c. \sin (\pi sinx) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

d. \cos ({x^2}) = \operatorname{s} {\text{inx}}

Hướng dẫn giải

a. \operatorname{s} {\text{inx}} = \sin \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ 
  {x = \pi  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } 
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ 
  {x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } 
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.

b. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ 
  {x = \pi  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } 
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ 
  {x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi } 
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.

c. \sin (\pi sinx) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\pi sinx = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ 
  {\pi sinx = \pi  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } 
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {sinx = \dfrac{1}{4} + 2k} \\ 
  {sinx = \dfrac{3}{4} + 2k} 
\end{array}} \right.} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Do \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 \leqslant \dfrac{1}{4} + 2k \leqslant 1} \\   { - 1 \leqslant \dfrac{3}{4} + 2k \leqslant 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow k = 0

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sin x = \dfrac{1}{4}} \\ 
  {\sin x = \dfrac{3}{4}} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = \arcsin \dfrac{1}{4} + k'2\pi } \\ 
  \begin{gathered}
  x = \pi  - \arcsin \dfrac{1}{4} + k'2\pi  \hfill \\
  x = \arcsin \dfrac{3}{4} + k'2\pi  \hfill \\
  x = \pi  - \arcsin \dfrac{3}{4} + k'2\pi  \hfill \\ 
\end{gathered}  
\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

d. \cos ({x^2}) = \operatorname{s} {\text{inx}} \Leftrightarrow \cos ({x^2}) = \cos (\frac{\pi }{2} - x)

\begin{matrix}
   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  {x^2} = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi {\text{           (1)}} \hfill \\
  {x^2} =  - (\frac{\pi }{2} - x) + k2\pi {\text{       (2)}} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  (1) \Leftrightarrow {x^2} - \dfrac{\pi }{2} + x - k2\pi  = 0 \hfill \\ 
\end{matrix}

Để phương trình có nghiệm ta có:

\Delta  = 1 + 2\pi  + 8k\pi  \geqslant 0 \Leftrightarrow k \geqslant  - \frac{{1 + 2\pi }}{{8\pi }}{\text{  }}

Hay k là các số 1, 2, 3, 4, 5, … hay k \in \mathbb{N}

Ta thu được nghiệm {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt \Delta  }}{2}(k \in \mathbb{N})

Giải tương tự với phương trình (2)

Ví dụ 2: Giải phương trình: 3\operatorname{cosx}  + \sqrt 3 \operatorname{s} {\text{inx}} = 1

Hướng dẫn giải

\begin{matrix}
  3\operatorname{cosx}  + \sqrt 3 \operatorname{s} {\text{inx}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt 3 \cos x + \sin {\text{x = }}\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }} \hfill \\
   \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = \dfrac{\pi }{6} + {\text{arccos}}\dfrac{1}{{2\sqrt 3 }} + k2\pi } \\ 
  {x = \dfrac{\pi }{6} - {\text{arccos}}\dfrac{1}{{2\sqrt 3 }} + k2\pi } 
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right. \hfill \\ 
\end{matrix}

6. Bài tập vận dụng giải phương trình lượng giác cơ bản

Câu 1: Phương trình \sin x=\sin \frac{\pi }{3} có nghiệm là:

A. \left[ \begin{matrix}
 x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\

x=\dfrac{-\pi }{3}+k2\pi \\
\end{matrix} \right.B.\left[ \begin{matrix}
x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\

 x=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\
\end{matrix} \right.
C.\left[ \begin{matrix}

 x=\dfrac{\pi }{3}+k\pi \\

 x=\dfrac{2\pi }{3}+k\pi \\

\end{matrix} \right.D.\left[ \begin{matrix}
	   x=\dfrac{-\pi }{3}+k2\pi   \\
	   x=\dfrac{-2\pi }{3}+k2\pi   \\
	\end{matrix} \right.

Câu 2: Phương trình \tan x=\sqrt{3} có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \left( -20\pi ,18\pi \right)

A. 37B. 39
C. 38D. 40

Câu 3: Phương trình lượng giác \cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left( x+\frac{\pi }{6} \right) có nghiệm là:

A. \left[ \begin{matrix}

 x=\dfrac{-\pi }{6}+k2\pi \\

x=\dfrac{-\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3} \\

 \end{matrix} \right.B.\left[ \begin{matrix}

 x=\dfrac{-\pi }{6}+k2\pi \\

 x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\

 \end{matrix} \right.
C. \left[ \begin{matrix}

x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\

 x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\

 \end{matrix} \right.C. \left[ \begin{matrix}

 x=\dfrac{-\pi }{6}+k2\pi \\
x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k2\pi }{3} \\
 \end{matrix} \right.

Câu 4: Với giá trị nào của m thì phương trình  \cos x+m-2=0 có nghiệm:

A. m\in \left( 1,3 \right)B. m\in \left[ 1,3 \right]
C. m\in \left[ -1,-3 \right]D. m\in \left( -1,3 \right)

Câu 5: Nghiệm của phương trình \sqrt{3}\tan x=-3  là:

A. x=\frac{2\pi }{3}+k2\piB. x=\frac{2\pi }{3}+k\pi
C. x=\frac{-2\pi }{3}+k2\piD. x=\frac{-2\pi }{3}+k\pi

Câu 6: Cho phương trình \sin x.\cos x=1 có nghiệm là:

A. x=\frac{k\pi }{4}B. x=k\pi
C. x=\frac{k2\pi }{3}D. Vô nghiệm

Câu 7: Phương trình \sin x=\frac{-1}{2} có nghiệm thỏa mãn x nằm trong khoảng \left( \pi ,\dfrac{3\pi }{2} \right) là :

A. x=\frac{-7\pi }{6}+k2\piB. x=\frac{-\pi }{6}+k2\pi
C. x=\frac{7\pi }{6}+k2\piD. x=\frac{\pi }{6}+k2\pi

Câu 8: Nghiệm của phương trình \cos x=\cos 3x là:

A. \left[ \begin{matrix}
 x=k\pi \\

 x=\dfrac{k\pi }{2} \\

 \end{matrix} \right.B. \left[ \begin{matrix}

 x=k\pi \\

 x=\dfrac{k\pi }{3} \\

 \end{matrix} \right.
C.\left[ \begin{matrix}

 x=k2\pi \\

 x=\dfrac{k\pi }{4} \\

\end{matrix} \right.D. \left[ \begin{matrix} x=k\pi \\

 x=\dfrac{k\pi }{4} \\

\end{matrix} \right.

Câu 9: Số nghiệm thuộc đoạn \left[ 0,15\pi \right] của phương trình: \tan x-1=0

A. 14B. 15C. 16D. 17

Câu 10: Phương trình \dfrac{\sin x-\cos x}{1+\sin x\cos x}=0 có nghiệm là:

A. x=\frac{\pi }{4}+k2\piB. x=\frac{-\pi }{4}+k\pi
C. x=\frac{\pi }{4}+k\piD. x=\frac{-\pi }{4}+k2\pi

Câu 11: Phương trình 1+2\cos 2x=0 có nghiệm là:

A. \pm \frac{2\pi }{3}+\frac{k\pi }{4}B. \pm \frac{\pi }{3}+k2\pi
C. \pm \frac{2\pi }{3}+k\piD. \pm \frac{\pi }{3}+k\pi

Câu 12: Mệnh đề nào sau đây sai?

A.\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\piB. \sin 2x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2}
C. \sin x=0\Leftrightarrow x=k2\piD. \sin x=-1\Leftrightarrow x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi

Câu 13: Phương trình \sin \left( \frac{\pi }{6}+x \right)=\cos 2x có nghiệm là:

A. \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\dfrac{\pi }{9}+\dfrac{k2\pi }{3} \\\end{matrix} \right.B. \left[ \begin{matrix}
 x=\dfrac{-\pi }{3}+k2\pi \\

 x=\dfrac{\pi }{9}+\dfrac{k2\pi }{3} \\

\end{matrix} \right.
C.\left[ \begin{matrix}

 x=\dfrac{-\pi }{3}+k2\pi \\

 x=\dfrac{-\pi }{9}+\dfrac{k2\pi }{3} \\
 \end{matrix} \right.C.\left[ \begin{matrix}

 x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\
 x=\dfrac{-\pi }{9}+\dfrac{k2\pi }{3} \\

 \end{matrix} \right.

Câu 14: Giải phương trình: \sqrt{3}\tan 2x-3=0

A. x=\frac{\pi }{3}+k\piB. x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}
C. x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}D. x=\frac{\pi }{6}+k\pi

Câu 15: Số nghiệm của phương trình: \sqrt{1-{{x}^{2}}}\sin x=0

A. 0B. 1C. 2D. 3

Câu 16: Nghiệm của phương trình: \sin \left( x+\frac{\pi }{8} \right)=\frac{-1}{2}

A. \left[ \begin{matrix}

 x=\dfrac{7\pi }{24}+k2\pi \\
 x=\dfrac{25\pi }{24}+k2\pi \\

 \end{matrix} \right.B.\left[ \begin{matrix}

 x=\dfrac{-7\pi }{24}+k2\pi \\

 x=\dfrac{7\pi }{24}+k2\pi \\

 \end{matrix} \right.
C.\left[ \begin{matrix}

 x=\dfrac{7\pi }{24}+k2\pi \\

x=\dfrac{-25\pi }{24}+k2\pi \\

\end{matrix} \right.D.\left[ \begin{matrix}

 x=\dfrac{-7\pi }{24}+k2\pi \\

 x=\dfrac{25\pi }{24}+k2\pi \\

 \end{matrix} \right.

Câu 17: Phương trình \tan x=\tan 3x có nghiệm là:

A. x=k\piB. x=\frac{k\pi }{3}
C. x=\frac{k\pi }{2}D. x=\frac{k\pi }{4}

Câu 18: Phương trình nào sau đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình \sin x=0

A. x=k2\piB. x=\frac{\pi }{2}+k2\pi
C. x=\frac{-\pi }{2}+k2\piD. x=k\pi

Câu 19: Phương trình nào cùng tập nghiệm với phương trình \tan x=1

A. \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}B. \cot x=1
C. {{\cot }^{2}}x=1D. \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}

Câu 20: Tổng các nghiệm thuộc khoảng \left( \frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right) của phương trình:

A. 0B. \pi
C. \frac{\pi }{2}D. 2\pi

Đáp án trắc nghiệm

1. B2. C3. A4. B5. D
6. D7. C8. A9. B10. C
11. D12. C13. B14. B15. D
16. D17. C18. D19. B20. A

------------------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Bài tập phương trình lượng giác cơ bản sẽ giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về phương trình lượng giác Toán 11. Chúc các bạn ôn tập thật tốt!

  • 1.149 lượt xem
Chia sẻ bởi: Kim Ngưu
Liên kết tải về
Tìm thêm: Toán 11
Sắp xếp theo

    Chủ đề liên quan