Giaitoan.com Toán 11

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Phương trình lượng giác Toán 11

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán biến đổi công thức lượng giác 10, 11 và lớp 12. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề lượng giác. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Dạng phương trình

a . sinx + b . cosx = c với a hoặc b khác 0.

2. Phương pháp

Phương pháp:

Biến đổi a . sinx + b . cosx về dạng A . sin(x + α) hoặc B . cos(x + β).

Ta có: a2 + b2 ≠ 0 nên:

a . sinx + b . cosx

=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)

Vì \left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1 nên tồn tại số α sao cho:

\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} và \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

Ta có: a . sinx + b . cosx

=\sqrt{a^2+b^2}.\cos\alpha\sin x+\sqrt{a^2+b^2}\sin\alpha\cos x

=\sqrt{a^2+b^2}(\cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x)

=\sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha)

Do đó, việc giải phương trình a . sinx + b . cosx = c được đưa về giải phương trình lượng giác cơ bản \sin(x+α)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}

Suy ra điều kiện phương trình: a . sinx + b . cosx = c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2.

Chú ý:

  • Nếu trong phép biến đổi trên, ta chọn số β để \cosβ=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} và \sinβ=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

Thì ta có: a . sinx + b . cosx =\sqrt{a^2+b^2} \cos(x-\beta)

  • Đặc biệt:

\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)

\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)

\sqrt{3} \sin x\pm \cos x=2\sin\left(x\pm \frac{\pi}{6}\right)

\sin x\pm \sqrt{3} \cos x=2\sin\left(x\pm \frac{\pi}{3}\right)

3. Ví dụ.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

3 cosx + 4 sinx = - 5

Lời giải chi tiết:

3 cosx + 4 sinx = - 5

Chia 2 vế cho \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=5 thì phương trình trở thành:

\frac{3}{5}\cos x+\frac{4}{5}\sin x=-1

Vì \left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1 nên tồn tại số α sao cho: \cos\alpha=\frac{3}{5};\ \sin\alpha=\frac{4}{5}

pt \Leftrightarrow cosα.cosx + sinα.sinx = - 1

\Leftrightarrow cos(x - α) = - 1

\Leftrightarrow x - α = π + k2π

\Leftrightarrow x = α + π + k2π, k ∈ Z.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

2 sin2x - 2 cos2x = \sqrt{2}

Lời giải chi tiết:

2 sin2x - 2 cos2x = \sqrt{2}

Chia 2 vế cho \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2} thì phương trình trở thành:

\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x=\frac{1}{2}

\Leftrightarrow \cos\frac{\pi }{4}\sin2 x-\sin\frac{\pi }{4}\cos 2x=\frac{1}{2}

\Leftrightarrow\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{6}

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 2x - \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi \\ x = \frac{{13\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.,k \in Z

-------------------------------------------------

---> Tham khảo: Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình theo một hàm lượng giác

Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) đối với sinx và cosx

Bài tập về phương trình lượng giác

Hi vọng Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

  • 5 lượt xem
Chia sẻ bởi: Đường tăng
Tìm thêm: Toán 11
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Chuyên đề Toán 11