Giaitoan.com Toán 11

Tính đạo hàm bằng định nghĩa Bài tập tính đạo hàm

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Tính đạo hàm

Công thức tính đạo hàm đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán tính đạo hàm hàm số mũ Toán 11. Tài liệu bao gồm công thức đạo hàm đầy đủ, dễ nhớ, dễ hiểu giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Đạo hàm lớp 11. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta thực hiện như sau:

Cách 1:

Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0, tính:

\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)

Bước 2: Lập tỉ số \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}

Bước 3: Tìm \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}.

Nếu \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số có đạo hàm là f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}

Nếu \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} không tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số không có đạo hàm

Cách 2:

Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

+ Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số có đạo hàm là f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

+ Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} không tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số không có đạo hàm

2. Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa

Ví dụ: Cho hàm số \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}{\text{ khi x}} \ne {\text{0}}} \\ {\dfrac{1}{4}{\text{ khi x = 0}}} \end{array}} \right.. Dùng định nghĩa đạo hàm đã biết hãy tính đạo hàm của hàm số tại x = 0.

A. f'\left( 0 \right) = \frac{1}{4}

B. f'\left( 0 \right) = \frac{1}{{16}}

C. f'\left( 0 \right) = \frac{1}{{32}}

D. f'\left( 0 \right) = \frac{1}{{12}}

Hướng dẫn giải

Thực hiện tính đạo hàm bằng định nghĩa như sau:

\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } \right)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \frac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

Chọn đáp án B

Ví dụ: Cho hàm số \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}{\text{ khi x}} \ne {\text{0}}} \\ {0{\text{ khi x = 0}}} \end{array}} \right.. Dùng định nghĩa đạo hàm đã biết hãy tính đạo hàm của hàm số tại x = 0.

A. f'\left( 0 \right) = 0

B. f'\left( 0 \right) = 1

C. f'\left( 0 \right) = \frac{1}{2}

D. f'\left( 0 \right) = \frac{1}{8}

Hướng dẫn giải

Thực hiện tính đạo hàm bằng định nghĩa như sau:

\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x} - 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

Chọn đáp án C

Ví dụ: Cho hàm số f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\text{x}}^2}{\text{ - 1 khi x}} \geqslant {\text{0}}} \\ {{\text{ - }}{{\text{x}}^2}{\text{ khi x < 0}}} \end{array}} \right.. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A. Hàm số không liên tục tại x = 0

B. Hàm số không có đạo hàm

C. Hàm số liên tục tại x = 2

D. Hàm số có đạo hàm tại x = 0

Hướng dẫn giải

Xét các giới hạn như sau:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = - 1} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = 0} \end{array}} \right.

Do nên hàm số không liên tục tại x = 0

Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0

Chọn đáp án D

Ví dụ: Tìm số thực m để hàm số f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\text{x}}^2}{\text{ khi x}} \leqslant {\text{2}}} \\ {\dfrac{{ - {x^2}}}{2}{\text{ + mx - 6 khi x > 2}}} \end{array}} \right. có đạo hàm tại x = 2

A. m = 3

B. m = 6

C. m = 1

D. m = -6

Hướng dẫn giải

Để hàm số có đạo hàm tại x = 2 trước tiên hàm số phải liên tục tại x = 2, tức là

\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + mx - 6} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow - 2 + 2m - 6 = 4 \hfill \\ \Rightarrow m = 6 \hfill \\ \end{matrix}

Thử lại với m = 6 ta có:

\begin{matrix} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + mx - 10}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 6x - 10}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - x} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{10 - x}}{2} = 4 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 4 \hfill \\ \end{matrix}

Vì nên hàm số có đạo hàm tại x = 2

Chọn đáp án B

3. Bài tập luyện tập tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số y = {x^2} - 2x + 4 tại x0 = 2

Bài 2: Cho hàm số y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{sin3x khi x}} \geqslant {\text{0}}} \\ {{\text{3x + 2 khi x < 0}}} \end{array}} \right.. Tính đạo hàm của hàm số tại x0 = 0 bằng định nghĩa.

Bài 3: Cho hàm số y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{m}}{{\text{x}}^2}{\text{ + 2x + 2 khi x > 0}}} \\ {{\text{nx + 1 khi x }} \leqslant {\text{ 0}}} \end{array}} \right.. Tìm tất cả các giá tị của tham số m và m sao cho hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0

--------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Toán 11: Đạo hàm là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Một số tài liệu liên quan:

  • 1.631 lượt xem
Chia sẻ bởi: Cự Giải
Tìm thêm: Toán 11 Chuyên đề Toán 11
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Chuyên đề Toán 11