Giaitoan.com Toán 11

Công thức đạo hàm Bảng đạo hàm đầy đủ

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Công thức tính đạo hàm

Các công thức đạo hàm đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán tính đạo hàm 11. Tài liệu bao gồm công thức đạo hàm đầy đủ, dễ nhớ, dễ hiểu giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Đạo hàm lớp 11. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

A. Đạo hàm

1. Đạo hàm là gì?

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và tọa độ x0 ∊ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} thì giới hạn đó được gọi là đọa hàm của hàm số y = f(x) tại x0. Kí hiệu: y’(x0) hoặc f’(x0).

Nghĩa là: y'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

- Quy ước: \Delta x = x - {x_0} là số gia của đối số x tại x0.

\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) là số gia của hàm số.

Vậy y'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}

2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1: Tính \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)

Bước 2: Lập tỉ số \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}

Bước 3: Tìm \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}

Ví dụ: Cho hàm số y = f\left( x \right) = {x^2} + 2x, có là số gia của biến số tại x = 2, là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó là:

A. {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2\Delta x

B. {\left( {\Delta x} \right)^2} + 6\Delta x - 8

C. {\left( {\Delta x} \right)^2} + 4\Delta x - 1

D. {\left( {\Delta x} \right)^2} + 6\Delta x

Hướng dẫn giải

\begin{matrix} \Delta y = f\left( x \right) - f\left( 2 \right) = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right) \hfill \\ \Delta y = {\left( {2 + \Delta x} \right)^2} + 2\left( {2 + \Delta x} \right) - \left( {{2^2} + 2.2} \right) \hfill \\ \Delta y = 4 + 4\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} + 4 + 2\Delta x - 8 \hfill \\ = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 6\Delta x \hfill \\ \end{matrix}

Chọn đáp án D

B. Bảng đạo hàm

\left( {u + v} \right)' = u' + v'\left( {uv} \right)' = u'v + v'u
\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}y{'_x} = y{'_u}.{u_x}'
\left( {ku} \right)' = k.u',\left( {k = const} \right){\left( {\frac{k}{u}} \right)^\prime } = - \frac{{ku ^\prime }}{{{u^2}}}

C. Bảng đạo hàm cơ bản (C)’ = 0

\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}},\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\left( {{u^\alpha }} \right)' = \alpha .{u^{\alpha - 1}}.u',\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)
\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}
\left( {\frac{1}{x}} \right)' = - \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{1}{u}} \right)' = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}
\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}};\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n > 1} \right)\left( {\sqrt[n]{u}} \right)' = \frac{{u'}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}}}}};\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n > 1} \right)
\left( {{e^x}} \right)' = {e^x}\left( {{e^u}} \right)' = u'.{e^u}
\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}\ln a\left( {{a^u}} \right)' = u'{a^u}.\ln a
\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{u}
\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x.\ln a}}\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}

D. Đạo hàm phân số

\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\left( {\frac{{a{x^2} + bx + c}}{{ex + f}}} \right)' = \frac{{ae{x^2} + 2afx + bf - ce}}{{{{\left( {ex + f} \right)}^2}}}
\left( {\frac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}}} \right)' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|.{x^2} + 2.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|.x + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}&{{c_1}} \\ {{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|}}{{{{\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)}^2}}}

E. Đạo hàm lượng giác

\left( {\sin x} \right)' = \cos x\left( {\cos x} \right)' = - \sin x
\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( x \right)}} = {\sec ^2}\left( x \right)\left( {\tan x} \right)' = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\left( x \right)}} = - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) = - {\csc ^2}\left( x \right)
\left( {\sec x} \right)' = \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}\left( x \right)}} = \tan \left( x \right).\sec \left( x \right)\left( {\csc x} \right)' = - \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}\left( x \right)}} = - \csc \left( x \right).\cot \left( x \right)
\left[ {\arcsin \left( x \right)} \right]' = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\left[ {\arccos \left( x \right)} \right]' = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}
\left[ {\arctan \left( x \right)} \right]' = \frac{1}{{{x^2} + 1}}

F. Đạo hàm cấp cao

{\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)}} = m.\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right).\left( {m - n + 1} \right){x^{m - n}};\left( {m \geqslant n} \right){\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)}} = 0;\left( {m < n} \right)
{\left( {{{\log }_a}x} \right)^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}.\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\ln a}}.\frac{1}{{{x^n}}}{\left( {\ln x} \right)^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}.\left( {n - 1} \right)!.{x^{ - n}}
{\left( {{e^{kx}}} \right)^{\left( n \right)}} = {k^n}.{e^{kx}}{\left( {{a^x}} \right)^{\left( n \right)}} = {\left( {\ln a} \right)^n}.{a^x}
{\left( {\sin ax} \right)^{\left( n \right)}} = {a^n}.\sin \left( {ax + n.\frac{\pi }{2}} \right){\left( {\cos ax} \right)^{\left( n \right)}} = {a^n}.\cos \left( {ax + n.\frac{\pi }{2}} \right)
{\left( {\frac{1}{{ax + b}}} \right)^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}.{a^n}.n!.\frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}

---------------------------------------

Hi vọng Công thức đạo hàm lớp 11 là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Một số tài liệu liên quan:

  • 166 lượt xem
Chia sẻ bởi: Biết Tuốt
Tìm thêm: Toán 11 Chuyên đề Toán 11
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Xem thêm bài viết khác

    Xem thêm Toán 11

    Chủ đề liên quan

    Chuyên đề Toán 11