Giaitoan.com Toán 10

sin^6x+cos^6x Công thức lượng giác

Nội dung
  • 10 Đánh giá

Công thức hạ bậc

Tài liệu công thức lượng giác đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán biến đổi công thức lượng giác Toán THPT. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề phương trình lượng giác lớp 10. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

A. Tính Sin^6x+cos^6x

Hướng dẫn giải

sin6x+cos6x

= (sin²x)³ + (cos²x)³

= (sin²x + cos²x).[(sin4x- sin²xcos²x + cos4x]

= 1.[(sin4x + 2sin²xcos²x + cos4x - 3sin²xcos²x]

= (sin²x + cos²x)² - 3sin²xcos²x

= 1 - 3sin²xcos²x

= 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x

= 1 - \frac{3}{8}\left( {1 - \cos 4x} \right)

= \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x

B. Biến đổi sin^6x, cos^6x

Ví dụ 1:: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức: 2(sin6x + cos6x) – 3(sin4x + cos4x) không phụ thuộc vào x

Hướng dẫn giải

Ta có:

sin6x + cos6x = 1 - 3sin²xcos²x

sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x.cos2x

=> 2(sin6x + cos6x) – 3(sin4x + cos4x)

= 2(1 - 3sin²xcos²x) – 3(1 – 2sin2x.cos2x)

= 2 - 6sin²xcos²x – 3 + 6sin²xcos²x

= -1

Vậy biểu thức 2(sin6x + cos6x) – 3(sin4x + cos4x) không phụ thuộc vào x

Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức:

sin4x + cos4x – sin6x – cos6 = sin2x.cos2x

Hướng dẫn giải

Biến đổi vế trái ta có:

sin4x + cos4x – sin6x – cos6

= sin4x (1 – sin2x) + cos4x.(1 – cos2x)

= sin4x . cos2x + cos4x.sin2x

= sin2x.cos2x.[sin2x + cos2x)

= sin2x.cos2x = VP

=> Điều phải chứng minh

C. Giải phương trình sin^6, cos^6x

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sin^6x + cos^6x = m có nghiêm.

Hướng dẫn giải

Sin6x + cos6x = m

=> (sin2x)3 + (cos2x)3 = m

=> (sin2x + cos2x)(sin4x – sin2x . cos2x + cos4x) = m

=> sin4x – sin2x.cos2x + cos4x = m

=> (sin2x + cos2x)2 – 2. sin2x.cos2x – sin2x.cos2x = m

=> 1 – 3sin2x . cos2 = m

=> 1 - 3/4.sin22x = m

=> sin22x = (4 – 4m)/3

Do 0 ≤ sin22x ≤ 1

=> 0 ≤ (4 – 4m)/3 ≤ 1

=> 1/4 ≤ m ≤ 1

D. Tập xác định của hàm số y=sin^6x+cos^6x

Tập xác định của hàm số là: D = \mathbb{R}

E. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin^6x+cos^6x

Ta có:

= (sin²x)³ + (cos²x)³

= (sin²x + cos²x).[(sin4x- sin²xcos²x + cos4x]

= 1.[(sin4x + 2sin²xcos²x + cos4x - 3sin²xcos²x]

= (sin²x + cos²x)² - 3sin²xcos²x

= 1 - 3sin²xcos²x

= 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x

= 1 - \frac{3}{8}\left( {1 - \cos 4x} \right)

= \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x

Ta có: -1 ≤ cos4x ≤ 1

\begin{matrix} \Rightarrow - \dfrac{3}{8} \leqslant \dfrac{3}{8}\cos 4x \leqslant \dfrac{3}{8} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{5}{8} - \dfrac{3}{8} \leqslant \dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\cos 4x \leqslant \dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{4} \leqslant \dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\cos 4x \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{4} \leqslant {\sin ^6}x + {\cos ^6}x \leqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}

Giá trị lớn nhất của y = sin^6x+cos^6x là \frac{1}{4}

Giá trị nhỏ nhất của y = sin^6x+cos^6x là 1

F. Công thức hạ bậc

1. Công thức hạ bậc bậc hai

\cos a = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos 2a}}{2}}\sin a = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos 2a}}{2}}
\tan a = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos 2a}}{{1 + \cos 2a}}}

2. Công thức hạ bậc bậc ba

\sin a = \sqrt[3]{{\frac{{3\sin a - \sin 3a}}{4}}}

\cos a = \sqrt[3]{{\frac{{3\cos a + \cos 3a}}{4}}}

\tan a = \sqrt[3]{{\frac{{3\sin a - \sin 3a}}{{3\cos a + \cos 3a}}}}

3. Công thức hạ bậc bậc bốn

\sin a = \pm \sqrt[4]{{\frac{{\cos 4a - 4\cos s2a + \dfrac{6}{2}}}{8}}}\cos a = \pm \sqrt[4]{{\frac{{\cos 4a + 4\cos s2a + \dfrac{6}{2}}}{8}}}

4. Công thức hạ bậc bậc 5

\sin a = \sqrt[5]{{\frac{{\sin 5a - 5\sin 3a + 10\sin a}}{{16}}}}\cos a = \sqrt[5]{{\frac{{\cos 5a + 5\cos 3a + 10\cos a}}{{16}}}}

G. sin^4x+cos^4x

Tính sin^4x+cos^4x

----------------------------------------------------

Hi vọng Các công thức lượng giác là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: Song Tử
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 69.164
Tìm thêm: Toán 10 Bài tập Toán 10
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Tài liệu tham khảo khác

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần