sin^4x+cos^4x Công thức lượng giác

39 Đánh giá

Công thức hạ bậc

A. Công thức sin^4x+cos^4x
- Biến đổi công thức: sin^4x+cos^4x
B. Biến đổi sin^4x, cos^4x
C. Giải phương trình lượng giác sin4x; cos4x
D. Công thức hạ bậc
E. Công thức Sin^6x+cos^6x

Tài liệu công thức lượng giác đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán biến đổi công thức lượng giác Toán THPT. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề phương trình lượng giác lớp 10. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

A. Công thức sin⁴x + cos⁴x

Biến đổi công thức: sin⁴x + cos⁴x

Hướng dẫn giải

Sin⁴x + cos⁴x

= (sin²x)² + (cos²x)²

= sin²x + 2sin²x . cos²x + cos²x − 2sin²x . cos²x

= (sin²x + 2sin²x . cos²x + cos²x) - 2sin²x . cos²x

= (sin²x + cos²x)²- 2sin²x . cos²x

= 1 - 2sin²x . cos²x

= $1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x$

= $1 - \frac{1}{4}\left( {1 - \cos 4x} \right)$

= $\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$

B. Biến đổi sin⁴x, cos⁴x

Ví dụ 1: Chứng minh giá trị của biểu thức A = cos⁴x . (2cos²x – 3) + sin⁴x . (2sin²x – 3) không phụ thuộc vào x.

Hướng dẫn giải

Ta có:

A = cos⁴x . (2cos²x – 3) + sin⁴x . (2sin²x – 3)

A = 2cos⁶x - 3cos⁴x + 2sin⁶x - 3sin⁴x

A = 2 . (cos⁶x + sin⁶x) – 3 . (sin⁴x + cos⁴x)

Ta có: sin⁶x + cos⁶x = 1 - 3sin²x . cos²x

sin⁴x + cos⁴x = 1 – 2sin²x . cos²x

=> A = 2(cos⁶x + sin⁶x) – 3(sin⁴x + cos⁴x)

A = 2(1 - 3sin²x . cos²x) – 3(1 – 2sin²x . cos²x)

A = 2 - 6sin²x . cos²x – 3 + 6sin²x . cos²x

A = - 1

Vậy biểu thức A = cos⁴x (2cos²x – 3) + sin⁴x (2sin²x – 3) không phụ thuộc vào x

Ví dụ 2: Chứng minh hệ thức A độc lập với x

$A = \sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}$

Hướng dẫn giải

$A = \sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}$

$= \sqrt {{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}^2} + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}^2} + 4{{\sin }^2}x}$

$= \sqrt {1 - 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {1 - 2{{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x + 4{{\sin }^2}x}$

$= \sqrt {1 + 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} + \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x + {{\sin }^2}x}$

$= \sqrt {{{\left( {1 + {{\cos }^2}x} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)}^2}}$

= |1 + cos²x| + |1 + sin²x|

= 1 + cos²x + 1 + sin²x

= 2 + cos²x + sin²x

= 2 + 1 = 3

Ví dụ 3: Chứng minh biểu thức:

sin⁴x + cos⁴x – sin⁶x – cos⁶ = sin²x . cos²x

Hướng dẫn giải

Biến đổi vế trái ta có:

sin⁴x + cos⁴x – sin⁶x – cos⁶x

= sin⁴x (1 – sin²x) + cos⁴x . (1 – cos²x)

= sin⁴x . cos²x + cos⁴x . sin²x

= sin²x . cos²x . (sin²x + cos²x)

= sin²x . cos²x = VP

=> Điều phải chứng minh

C. Giải phương trình lượng giác sin⁴x; cos⁴x

Ví dụ 1: Giải phương trình:

sin x + sin²x + sin³x + sin⁴x = cos x + cos²x + cos³x + cos⁴x

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có:

sin³x – cos³x = (sinx – cosx) . (sin²x + cos²x + sinx . cosx)

sin⁴x – cos⁴x = (sin²x – cos²x) . (sin²x + cos²x) = - cos2x

Ta biến đổi phương trình như sau:

sin x + sin²x + sin³x + sin⁴x = cos x + cos²x + cos³x + cos⁴x

=> sin x – cos x + sin²x – cos²x + sin³x – cos³x + sin⁴x – cos⁴x = 0

=> sin x – cos x – cos 2x + (sin x – cos x) . (sin²x + cos²x + sin x . cos x) - cos 2x = 0

=> sin x – cos x – 2cos 2x + (sin x – cos x).(1 + sin x . cos x) = 0

=> (sin x – cos x) . [1 + 2(sin x + cos x) + 1 + sin x . cos x] = 0

=> sin x – cos x = 0 hoặc 1 + 2(sin x + cos x) + 1 + sin x . cos x = 0

Trường hợp 1:

sin x – cos x = 0

Giải phương trình ta được $x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Trường hợp 2:

1 + 2(sin x + cos x) + 1 + sin x .cos x = 0 (*)

Đặt sin x + cos x = t (điều kiện $\left| t \right| \leqslant \sqrt 2$ )

=> sin x . cos x = $\frac{{{t^2} - 1}}{2}$

Biến đổi phương trình (*) ta được:

$2t + \frac{{{t^2} - 1}}{2} + 2 = 0 \Rightarrow {t^2} + 4t + 3 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = - 1} \\ {t = - 3\left( L \right)} \end{array}} \right.$

=> sin x + cos x = -1

=> $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi } \\ {x = \pi + k2\pi } \end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Vậy phương trình có ba họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

sin⁴x + cos⁴x + sinx . cosx = 0

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có:

Sin x . cos x = 1/2.sin 2x

sin⁴x + cos⁴x = 1 - 2sin²x . cos²x = 1 – 1/2 . sin²2x

Thay vào phương trình ta có:

1 – 1/2 . sin²2x + 1/2 . sin 2x= 0

=> 2 – sin²2x + sin 2x = 0

=> sin 2x = 2 (loại) hoặc sin 2x = -1 (thỏa mãn)

Với sin 2x = -1

$\Rightarrow 2x= \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Rightarrow x =\frac{{ - \pi }}{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Kết luận phương trình có một họ nghiệm.

Ví dụ 3: Giải phương trình lượng giác

cos⁴x - sin⁴x + cos 4x = 0

Hướng dẫn giải

cos⁴x - sin⁴x + cos 4x = 0

=> (cos²x – sin²x)(cos²x + sin²x) + cos 4x = 0

=> cos 2x + cos 4x = 0

=> cos 2x = - cos 4x

=> $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}} \end{array}} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

D. Công thức hạ bậc

1. Công thức hạ bậc bậc hai

$\cos a = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos 2a}}{2}}$	$\sin a = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos 2a}}{2}}$
$\tan a = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos 2a}}{{1 + \cos 2a}}}$

2. Công thức hạ bậc bậc ba

$\sin a = \sqrt[3]{{\frac{{3\sin a - \sin 3a}}{4}}}$	$\cos a = \sqrt[3]{{\frac{{3\cos a + \cos 3a}}{4}}}$
$\tan a = \sqrt[3]{{\frac{{3\sin a - \sin 3a}}{{3\cos a + \cos 3a}}}}$