Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác Công thức lượng giác 11

6 Đánh giá

Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

1. Tính tuần hoàn và chu kì của hàm số lượng giác
2. Tính chẵn lẻ của hàm số
3. Bài tập tính chẵn lẻ của hàm lượng giác
4. Đáp án bài tập hàm số lượng giác

GiaiToan.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và học sinh tài liệu Xét tính chẵn lẻ của hàm số. Nội dung tài liệu gồm lý thuyết, ví dụ minh họa và câu hỏi trắc nghiệm cùng đáp án về hàm số lượng giác hỗ trợ quá trình ôn luyện cho bạn đọc. Tài liệu được GiaiToan biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán 11 hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

Tài liệu tham khảo: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Hàm số chẵn lẻ

1. Tính tuần hoàn và chu kì của hàm số lượng giác

- Định nghĩa: Hàm số y = f(x) có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số $T \ne 0$ sao cho với mọi $x \in D$ ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - T \in D} \\ {x + T \in D} \end{array}} \right.$
$f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)$

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được:

y = sin x tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$
y = cos x tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$
y = tan x tuần hoàn với chu kì $T = \pi$
y = cot x tuần hoàn với chu kì $T = \pi$

Chú ý:

Hàm số $y = \sin \left( {ax + b} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}$
Hàm số $y = \cos \left( {ax + b} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}$
Hàm số $y = \tan \left( {ax + b} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}$
Hàm số $y = \cot \left( {ax + b} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}$

Đặc biệt:

a. Hàm số $y = a\sin mx + b\cos nx + c,\left( {m,n \in \mathbb{Z}} \right)$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{\left( {m,n} \right)}}$ với (m, n) là ước chung lớn nhất

b. Hàm số $y = a\tan mx + b\cot nx + c,\left( {m,n \in \mathbb{Z}} \right)$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \frac{\pi }{{\left( {m,n} \right)}}$ với (m, n) là ước chung lớn nhất

2. Tính chẵn lẻ của hàm số

Hàm số y = f(x) có tập xác định D ta có: $\forall x, - x \in D,f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)$

⇒ Hàm số được gọi là hàm số chẵn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D ta có: $\forall x, - x \in D,f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)$

⇒ Hàm số được gọi là hàm số lẻ

Ví dụ 1: Xét tính tuần hoàn và chu kì cơ sở của các hàm số sau:

a. $y = \sin \left( {2x + 1} \right)$	b. $y = \cos \left( {\frac{1}{2} - 3x} \right)$
c. $y = 1 + {\sin ^2}2x$	d. $y = \frac{1}{{\sin 2x}}$

Hướng dẫn giải

a. Hàm số $y = \sin \left( {2x + 1} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi$

b. Hàm số $y = \cos \left( {\frac{1}{2} - 3x} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{\left| { - 3} \right|}} = \frac{{2\pi }}{3}$

c. Ta có:

$y = 1 + {\sin ^2}(2x) = 1 + \frac{{1 - \cos 4x}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{{\cos 4x}}{2}$

Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T $\Rightarrow f(x + T) = f(x)$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2} - \frac{{\cos 4x}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{{\cos 4(x + T)}}{2}$

$\Leftrightarrow \cos 4x = \cos 4(x + T)$ chọn x = 0

$\Rightarrow \cos 4{\text{T}} = 1 \Leftrightarrow {\text{T}} = \frac{{{\text{k}}\pi }}{2}$

Chọn ${\text{k}} = 1 \to {\text{T}} = \frac{\pi }{2}$ vậy chu kì là ${\text{T}} = \frac{\pi }{2}$

d. Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T $\Rightarrow f(x + T) = f(x)$

Chọn $x = 0 \Rightarrow \sin T = 0 \Rightarrow T = k\pi$

Chọn $k = 1 \Rightarrow T = \pi$

Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \pi$

Ví dụ 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số $y = {\sin ^2}x$

Hướng dẫn giải

Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn

$\begin{matrix} \exists T > 0:f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow \sin {\left( {x + T} \right)^2} = \sin {x^2},\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ x = 0 \Leftrightarrow \sin {T^2} = 0 \Leftrightarrow {T^2} = k\pi \Leftrightarrow T = \sqrt {k\pi } \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( {x + \sqrt {k\pi } } \right) = f\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \end{matrix}$

Cho $x = \sqrt {2k\pi }$ . Ta có:

$\begin{matrix} f\left( {\sqrt {2k\pi } } \right) = \sin {\left( {\sqrt {2k\pi } } \right)^2} = 0 \hfill \\ f\left( {x + \sqrt {k\pi } } \right) = \sin {\left( {x + \sqrt {k\pi } } \right)^2} = \sin \left( {3k\pi + 2k\pi \sqrt 2 } \right) = \pm \sin \left( {2k\pi \sqrt 2 } \right) \hfill \\ \Rightarrow f\left( {x + \sqrt {k\pi } } \right) \ne 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy hàm số đã không phải là hàm số tuần hoàn.

Ví dụ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số: $y = \cos x$

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

$\forall x, - x \in D$ ta xét: $f\left( x \right),f\left( { - x} \right)$

$f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) = \cos x = f\left( x \right)$

Vậy hàm số là hàm số chẵn

Ví dụ 5: Cho a, b, c, d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số $f\left( x \right) = a\sin cx + b\cos dx$ là hàm số tuần hoàn khi c/d là số hữu tỉ.

Hướng dẫn giải

Giả sử là hàm số tuần hoàn $f\left( x \right) = a\sin cx + b\cos dx$

Cho x = 0, x = -T $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a\sin cT + b\cos dT = b} \\ { - a\sin cT + b\cos dT = b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos dT = 1} \\ {\sin cT = 0} \end{array}} \right.$

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {dT = 2n\pi } \\ {cT = 2m\pi } \end{array}} \right. \Rightarrow \frac{c}{d} = \frac{m}{{2n}} \in \mathbb{Q}$

Giả sử $\frac{c}{d} \in \mathbb{Q} \Rightarrow \exists k,l \in \mathbb{Z}:\frac{c}{d} = \frac{k}{l}$

Đặt $T = \frac{{2k\pi }}{c} = \frac{{2l\pi }}{d}$

Ta có: $f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}$ . Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2k\pi }}{c} = \frac{{2l\pi }}{d}$

3. Bài tập tính chẵn lẻ của hàm lượng giác

Câu 1: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

$A. y=x\cos x$	$B. y=\cos x.\tan 2x$
$C. y=\sin 3x$	$D. y=\frac{\tan x}{\sin x}$

Câu 2: Tính chất của hàm số là

A. Hàm số lẻ	B. Hàm số chẵn
C. Hàm số không chẵn, không lẻ	D. Hàm hằng

Câu 3: Hàm số có chu kì cơ sở là

$A. T=2\pi$	$B. T=\frac{\pi }{2}$
$C. T=\frac{\pi }{3}$	$D. T=\pi$

Câu 4: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

$A. y=\sin x$	$B. y=-\sin x$
$C. y=-2\cos x$	$D. y=\sin x-\cos x$

Câu 5: Trong các khẳng định sau , khẳng định nào đúng?

A. Hàm số y = sin x, y = cos x có chu kì

B. Hàm số có chu kì

C. Hàm số có chu kì

D. Hàm số có chu kì

Câu 6: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ:

$A. y=-2\cos x$	$B. y=3\cos x$
$C.y={{\sin }^{2}}2x$	$D. y=3\sin x$

Câu 7: Tìm m để hàm số sau là hàm số chẵn;

$A. m=0$	$B. m<1$
$C. m>0$	$D. m=1$

Câu 8: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

A. Là hàm số lẻ	B. Là hàm số chẵn
C. Là hàm không chẵn	D. Là hàm không lẻ

Câu 9: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

$A. y=-3\cos x$	$B. y=2\sin x$
$C. y=-5{{\sin }^{2}}x+1$	$D. y=-\cos x+3$

Câu 10: Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số y = cosx là hàm số lẻ

B. Hàm số y = tanx là hàm số lẻ

C. Hàm số y = cotx là hàm số lẻ

D. Hàm số y = sinx là hàm số lẻ

Câu 11: Hàm số $y=2\sin x+2\tan x$ là:

A. Hàm số chẵn trên tập xác định

B. Hàm số lẻ trên tập xác định

C. Hàm số không chẵn trên tập xác định

D. Hàm số không chẵn không lẻ trên tập xác định

Câu 12: Hàm số là:

A. Hàm số tuần hoàn chu kì $\pi$

B. Hàm số lẻ trên tập xác định

C. Hàm số không tuần hoàn

D. Hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi$

Câu 13: Hàm số là:

A. Hàm số lẻ	B. Hàm số chẵn
C. Hàm không chẵn, không lẻ	D. Hàm hằng

Câu 14: Hàm số là:

A. Hàm số chẵn trên R	B. Hàm số lẻ trên R
C. Hàm số không lẻ	D. Hàm số không chẵn, không lẻ trên R

Câu 15: Chu kì tuần hoàn của hàm số là:

$A. T=\pi$	$B. T=\frac{\pi }{2}$
$C. T=\frac{\pi }{4}$	$D. T=2\pi$

4. Đáp án bài tập hàm số lượng giác

1. D	2. C	3. D	4. C	5. C
6. D	7. A	8. A	9. B	10. A
11. B	12. C	13. B	14. D	15. B

------------------------------------------------

Trên đây GiaiToan đã chia sẻ đến các bạn học sinh Bài tập Hàm số lượng giác nhằm cung cấp cơ sở kiến thức ôn tập cho các bạn học sinh, giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về hàm số lượng giác. Chúc các bạn ôn tập thật tốt!