Bài toán tính tổng dãy số có quy luật Toán 11 Bài tập tính tổng dãy số có quy luật có đáp án

2 Đánh giá

Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều

Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán và công thức tính tổng dãy số lớp 11. Tài liệu Toán 11 này có các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài và cách tính tổng một dãy số có quy luật bất kỳ. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

TÍNH TỔNG DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT TOÁN 11

1. Tính tổng theo công thức nhị thức Newton

Phương pháp: Dựa vào khai triển nhị thức Newton:

${\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2.{a^{n - 2}}.{b^2} + ... + C_n^n.{b^n}$

Một số công thức liên quan:

· $C_n^k = C_n^{n - k}$	· $\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}} C_n^k = 0$
· $\sum\limits_{k = 0}^n {{a^k}} C_n^k = {\left( {1 + a} \right)^n}$	· $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + ... + C_n^n = {2^n}$
· $\sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n}^{2k} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n}^{2k - 1} = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n}^k} } }$

Ví dụ 1: Tính tổng của dãy: $S = \frac{1}{2}.C_n^0 - \frac{1}{4}C_n^1 + \frac{1}{6}C_n^3 + ... + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2\left( {n + 1} \right)}}.C_n^n$

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} S = \dfrac{1}{2}.C_n^0 - \dfrac{1}{4}C_n^1 + \dfrac{1}{6}C_n^3 + ... + \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2\left( {n + 1} \right)}}.C_n^n \hfill \\ = \dfrac{1}{2}\left( {C_n^0 - \dfrac{1}{2}C_n^1 + \dfrac{1}{3}C_n^3 + ... + \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1}}.C_n^n} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có: $\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{k + 1}}.C_n^k = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{n + 1}}.C_{n + 1}^{k + 1}$ nên suy ra:

$S = \frac{1}{{2\left( {n + 1} \right)}}\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}C_{n + 1}^{k + 1}} = \frac{{ - 1}}{{2\left( {n + 1} \right)}}.\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {{{\left( { - 1} \right)}^k}C_{n + 1}^k} - C_{n + 1}^0} \right) = \frac{1}{{2\left( {n + 1} \right)}}$

Ví dụ 2: Tính tổng của dãy: $S = C_n^1{3^{n - 1}} + 2C_n^2{3^{n - 2}} + 3C_n^3{.3^{n - 3}} + ... + nC_n^n$

Hướng dẫn giải

Ta có: $S = C_n^1{3^{n - 1}} + 2C_n^2{3^{n - 2}} + 3C_n^3{.3^{n - 3}} + ... + nC_n^n = {3^n}\sum\limits_{k = 1}^n {k.C_n^k.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^k}}$

Do $kC_k^n.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^k} = n.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^k}.C_{n - 1}^{k - 1},k \geqslant 1$

$\Leftrightarrow S = {3^n}\sum\limits_{k = 1}^n {k.C_n^k.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^k}} = {3^n}.n.\sum\limits_{k = 1}^n {C_{n - 1}^{k - 1}.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^k}}$

$= {3^{n - 1}}.n.\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {C_{n - 1}^k.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^k} = {3^{n - 1}}.n.{{\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)}^{n - 1}} = n{{.4}^{n - 1}}}$

2. Tính tổng dãy số áp dụng phương pháp quy nạp

Bài toán: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên $n > {n_0}$

Phương pháp:

Bước 1: Xét $P\left( {{n_0}} \right)$ đúng

Bước 2: Giả sử $P\left( k \right)$ đúng ta sẽ chứng minh $P\left( {k + 1} \right)$ đúng với mọi số tự nhiên $k \geqslant {n_0}$ thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên $n > {n_0}$

Ví dụ 1: Chứng minh rằng $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ đúng với mọi số tự nhiên $n \geqslant 1$

Hướng dẫn giải

$\ + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ (1)

Bước 1: Với n = 1 ta có: VP = VT = 1 ⇒ (1) đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử (1) đúng với k, $k \in \mathbb{N},k \geqslant 1$ tức là:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k = \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}$

Ta phải chứng minh (1) đúng với k + 1 tức là:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + \left( {k + 1} \right) = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{2} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}$ (2)

Ta có: $\begin{matrix} 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + \left( {k + 1} \right) = \left( {1 + 2 + 3 + .... + k} \right) + k + 1 = \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2} + k + 1 \hfill \\ = \dfrac{{{k^2} + 3k + 2}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2} = \left( 2 \right) \Rightarrow dpcm \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi $n \geqslant 1$

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với

$\sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx = \frac{{\sin \dfrac{{nx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}$

$x \ne k2\pi ,n \geqslant 1$

Hướng dẫn giải

Với n = 1 ta có $VT = \sin x,VP = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}.\sin x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}} = \sin x = VT \Rightarrow \left( 1 \right)$ đúng

Giả sử (1) đúng với $n = k \geqslant 1$ tức là:

$\sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin kx = \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}$ (2)

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với $n = k + 1$ tức là:

$\sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin kx + \sin \left( {k + 1} \right)x = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 2} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}$

Tức là:

$\begin{matrix} \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin kx + \sin \left( {k + 1} \right)x = \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}} + \sin \left( {k + 1} \right)x \hfill \\ = \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2} + \sin \left[ {\left( {k + 1} \right)x} \right].\sin \dfrac{x}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2} + 2\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}.\cos \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}.\sin \dfrac{x}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}} \hfill \\ = \sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}.\left[ {\dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2} + 2.\cos \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}.\sin \dfrac{x}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}} \right] = \dfrac{{\sin \frac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 2} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}} = VP \Rightarrow dpcm \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi $x \ne k2\pi ,n \geqslant 1$

(Còn tiếp)

Mời thầy cô và bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ!

----------------------------------------------

Hi vọng Bài tập toán 11: Tính tổng của dãy số có quy luật là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!