Giaitoan.com Toán 10

Các công thức lượng giác Bảng công thức lượng giác

Nội dung Tải về
  • 2 Đánh giá

Công thức lượng giác

GiaiToan.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh Bài tập công thức lượng giác lớp 10. Các bài tập công thức lượng giác lớp 10 này sẽ giúp các bạn ôn tập và luyện các dạng bài tập về công thức lượng giác, hàm số lượng giác, phương trình lượng giác ... Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo.

A. Bảng công thức lượng giác

1. Công thức lượng giác cơ bản 

· {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1

· \cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}

· {\cot ^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}

· \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}

· {\tan ^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}

· \tan x.\cot x = 1

2. Công thức cộng

· \cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b

· \cos \left( {a - b} \right) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b

· \sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b

· \sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b

· \tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}

· \tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}

3. Công thức nhân đôi, công thức nhân ba

  • \sin 2a = 2\sin a.\cos b
  • \cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a
  • \cos 3a = 4{\cos ^3}a - 3\cos a
  • \sin 3a = 3\sin a - 4{\sin ^3}a
  • \tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}

4. Công thức hạ bậc

\cos a = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos 2a}}{2}}\sin a = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos 2a}}{2}}

Đặt t = \tan \frac{a}{2} ta có công thức sau:

\sin a = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\cos a = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\tan a = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}

5. Công thức biến đổi tổng thành tích

· \cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}

· \cos a - \cos b = - \sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}

· \sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}

· \sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}

· \tan a + \tan b = \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos a.\cos b}}

· \tan a - \tan b = \frac{{\sin \left( {a - b} \right)}}{{\cos a.\cos b}}

· \cot a + \cot b = \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin a.\sin b}}

· \cot a - \cot b = - \frac{{\sin \left( {a - b} \right)}}{{\sin a.\sin b}}

6. Công thức biến đổi tích thành tổng

  • \sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]
  • \sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]
  • \cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]

B. Bài tập lượng giác lớp 10

Bài tập 1: Chứng minh các biểu thức sau:

a. \frac{{2\sin a - \sin 2a}}{{2\sin a + \sin 2a}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{a}{2}}} - 1

b. \frac{{1 + \cos 2x - \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}} = - \tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)

c. \frac{{1 + \sin x}}{{1 - \sin x}} = {\cot ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{a}{2}} \right)

Hướng dẫn giải

a. \frac{{2\sin a - \sin 2a}}{{2\sin a + \sin 2a}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{a}{2}}} - 1

Biến đổi vế trái ta có:

\begin{matrix} \dfrac{{2\sin a - \sin 2a}}{{2\sin a + \sin 2a}} = \dfrac{{2\sin a - 2\sin a.\cos a}}{{2\sin a + 2\sin a\cos a}} = \dfrac{{1 - \cos a}}{{1 + \cos a}} \hfill \\ = \dfrac{{2{{\sin }^2}\dfrac{a}{2}}}{{2{{\cos }^2}\dfrac{a}{2}}} = {\tan ^2}\dfrac{a}{2} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{a}{2} - 1}} = VP \hfill \\ \end{matrix}

b. \frac{{1 + \cos 2x - \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}} = - \tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)

Biến đổi vế trái ta có:

\begin{matrix} \dfrac{{1 + \cos 2x - \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}} = \dfrac{{2{{\cos }^2}x - 2\sin x.\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x.\cos x}} = \dfrac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 2 \sin \left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)}}{{\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}} = \tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right) = - \tan \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

c. \frac{{1 + \sin x}}{{1 - \sin x}} = {\cot ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)

Biến đổi vế trái ta có:

\begin{matrix} \dfrac{{1 + \sin x}}{{1 - \sin x}} = \dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} + {{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + 2\sin \dfrac{x}{2}.\cos \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} + {{\sin }^2}\dfrac{x}{2} - 2\sin \dfrac{x}{2}.\cos \dfrac{x}{2}}} \hfill \\ = \dfrac{{{{\left( {\cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {\cos \dfrac{x}{2} - \sin \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{x}{2}} \right)}}{{2{{\sin }^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{x}{2}} \right)}} = {\cot ^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{a}{2}} \right) = VP \hfill \\ \end{matrix}

Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a. 1 - 4{\sin ^2}a.{\cos ^2}a

b. \frac{{1 + \cos 2x - \cos x}}{{\sin 2x - \sin x}}

c. \frac{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}

d. {\cos ^3}x + {\sin ^3}x - \sin x - \cos x

Hướng dẫn giải

a. 1 - 4{\sin ^2}a.{\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}2a = {\cos ^2}2a

b. \frac{{1 + \cos 2x - \cos x}}{{\sin 2x - \sin x}} = \frac{{2{{\cos }^2}x - \cos x}}{{2\sin x.\cos x - \sin x}} = \frac{{\cos x\left( {2\cos x - 1} \right)}}{{\sin x\left( {2\cos x - 1} \right)}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \tan x

c.

\begin{matrix} \dfrac{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}} = \dfrac{{\cos 2x + \left( {\cos x + \cos 3x} \right)}}{{\sin 2x + \left( {\sin x + \sin 3x} \right)}} \hfill \\ = \dfrac{{\cos 2x + 2\cos 2x.\cos x}}{{\sin 2x + 2\sin 2x.\cos x}} = \dfrac{{\cos 2x\left( {1 + 2\cos x} \right)}}{{\sin 2x\left( {1 + 2\cos x} \right)}} = \cot 2x \hfill \\ \end{matrix}

d.

\begin{matrix} {\cos ^3}x + {\sin ^3}x - \sin x - \cos x \hfill \\ = \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {{{\cos }^2}x - \sin x.\cos x + {{\sin }^2}x} \right) - \left( {\sin x + \cos x} \right) \hfill \\ = \left( {\sin x + \cos x} \right)\left[ {{{\cos }^2}x - \sin x.\cos x + {{\sin }^2}x - 1} \right] \hfill \\ = \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( { - \sin x.\cos x} \right) = - \dfrac{{\sin 2x.\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{matrix}

Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số lượng giác sau:

a. y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1

b. y = 2{\sin ^2}x - \cos 2x + 1

c. y = {\cos ^4}x - {\sin ^4}x

d. y = 1 - 8{\cos ^2}x.{\sin ^2}x

Hướng dẫn giải

a. y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1

Điều kiện xác định:

Ta có:

\begin{matrix} - 1 \leqslant \sin \left( {{x^2}} \right) \leqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 1 \geqslant - \sin \left( {{x^2}} \right) \geqslant - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \geqslant 1 - \sin \left( {{x^2}} \right) \geqslant 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - 1 \geqslant \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1 \geqslant \sqrt 2 - 1 \hfill \\ \end{matrix}

GTNN của hàm số là -1 tại x = \pm \sqrt {\frac{\pi }{2} + k2\pi } ,k \in {\mathbb{Z}^ + }

GTLN của hàm số là \sqrt 2 - 1 tại x = \pm \sqrt {\frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi } ,k \in {\mathbb{Z}^ + }

b. y = 2{\sin ^2}x - \cos 2x + 1 = 2{\sin ^2}x - 1 + 2{\sin ^2}x + 1 = 4{\sin ^2}x

Ta có:

\begin{matrix} - 1 \leqslant \sin \left( x \right) \leqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\sin ^2}\left( x \right) \leqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant 4{\sin ^2}\left( x \right) \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}

GTNN của hàm số là 0 tại x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}

GTLN của hàm số là 4 tại x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}

c.

\begin{matrix} y = {\cos ^4}x - {\sin ^4}x = {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} - {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} \hfill \\ = \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) = \cos 2x \hfill \\ - 1 \leqslant \cos 2x \leqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}

GTNN của hàm số là -1 tại x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}

GTLN của hàm số là 1 tại x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}

d.

\begin{matrix} y = 1 - 8{\cos ^2}x.{\sin ^2}x = 1 - 2{\sin ^2}2x = \cos 4x \hfill \\ - 1 \leqslant \cos 4x \leqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}

GTNN của hàm số là -1 tại x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}

GTLN của hàm số là 1 tại x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}

--------------------------------------------------

Trên đây GiaiToan đã giới thiệu tới các bạn bài Công thức lượng giác lớp 10. Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác để cập nhật được nhiều bài tập hay bổ ích nhé!

  • 87 lượt xem
Chia sẻ bởi: Thiên Bình
Liên kết tải về

Link Download chính thức:

Tìm thêm: Toán 10
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Xem thêm bài viết khác

    Xem thêm Toán 10

    Chủ đề liên quan

    Chuyên đề Toán 11