Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 = 2x2 Luyện thi vào lớp 10 môn Toán

1 Đánh giá

Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được GiaiToan biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Bài tập: Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x₁ = 2x₂:

a) x² + 6x + m = 0

b) x² + mx + 8 = 0

c) mx² - 3x + 2 = 0

Lời giải chi tiết:

a) x² + 6x + m = 0

Ta có: ∆' = b'² - ac = 3² - m = 9 - m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chi khi ∆' > 0 $\Leftrightarrow$ 9 - m > 0 $\Leftrightarrow$ m < 9

Với m < 9, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-et, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -6 \\ x_1.x_2= \frac{c}{a} = m\end{array} \right.$

Ta có x₁ = 2x₂ nên x₁ + x₂ = 3x₂ = - 6

=> x₂ = - 2 và x₁ = - 4

=> m = x₁ . x₂ = (- 2) . (- 4) = 8

Vậy m = 8 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x₁ = 2x₂.

b) x² + mx + 8 = 0

Ta có: ∆ = b² - 4ac = m² - 32

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ ∆ > 0 $\Leftrightarrow$ m² - 32 > 0 $\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}m < -\sqrt{32} \\ m > \sqrt{32} \end{array} \right.$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = m \\ x_1.x_2= \frac{c}{a} = 8\end{array} \right.$

Ta có x₁ = 2x₂ nên x₁ . x₂ = 2x₂² = 8 => x₂ = - 2 hoặc x₂ = 2

Với x₂ = - 2, suy ra x₁ = - 4. Do đó m = x₁ + x₂ = - 4 - 2 = - 6
Với x₂ = 2, suy ra x₁ = 4. Do đó m = x₁ + x₂ = 4 + 2 = 6

Vậy m = 6 hoặc m = - 6 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x₁ = 2x₂.

c) mx² - 3x + 2 = 0

Ta có: ∆ = b² - 4ac = 9 - 8m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ m ≠ 0 và ∆ > 0 $\Leftrightarrow$ 9 - 8m > 0 $\Leftrightarrow m<\frac{9}{8}$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{3}{m} \\ x_1.x_2= \frac{c}{a} = \frac{2}{m} \end{array} \right.$

Do x₁ = 2x₂ nên $\left\{ \begin{array}{l} 3x_2 = \frac{3}{m} \\2x_2^2= \frac{2}{m} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_2 = \frac{1}{m} \\x_2^2= \frac{1}{m} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ x₂² - x₂ = 0

$\Leftrightarrow$ x₂ = 0 (loại) và x₂ = 1

$\Leftrightarrow$ m = 1 (tmđk)

Vậy m 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x₁ = 2x₂.

---------------------------------------------

1. Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax² + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂. Khi đó hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:

$\left\{ \begin{matrix} S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} \hfill \\ \end{matrix} \right.$

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt sau:

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm ${x_1} = 1$ và ${x_2} = \frac{c}{a}$