Cho phương trình x^2 - mx - 2(m^2 + 8) = 0. Tìm giá trị của m để hai nghiệm phân biệt Luyện thi vào lớp 10 môn Toán

1 Đánh giá

Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được GiaiToan biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Bài tập: Cho phương trình x² - mx - 2(m² + 8) = 0. Tìm giá trị của m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn:

a) x₁² + x₂² = 52

b) x₁² + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ∆ = b² - 4ac = m² + 8(m² + 8) = 9m² + 64 > 0 với mọi m

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

$\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = m \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = -2(m^2+8) \hfill \\ \end{matrix} \right.$

a) Ta có: x₁² + x₂² = 52

$\Leftrightarrow$ (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 52

$\Leftrightarrow$ m² + 4(m² + 8) = 52

$\Leftrightarrow$ 5m² + 32 = 52

$\Leftrightarrow$ 5m² = 20

$\Leftrightarrow$ m = - 2 hoặc m = 2

Vậy m = - 2 hoặc m = 2 thì pt có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x₁² + x₂² = 52.

b) Ta có: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

= m² + 4(m² + 8)

= 5m² + 32

Do 5m² ≥ 0 với mọi m

$\Leftrightarrow$ 5m² + 32 ≥ 32 > 0 với mọi m

$\Leftrightarrow$ x₁² + x₂² ≥ 32 > 0 với mọi m

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m = 0.

Vậy với m = 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x₁² + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.

---------------------------------------------

1. Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax² + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂. Khi đó hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:

$\left\{ \begin{matrix} S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} \hfill \\ \end{matrix} \right.$

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt sau:

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm ${x_1} = 1$ và ${x_2} = \frac{c}{a}$