Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ Toán 10 bài 4 sách Chân trời sáng tạo

1 Đánh giá

Lý thuyết Toán 10 CTST bài 4

1. Elip
2. Hypebol
3. Parabol

Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ được GiaiToan đăng tải trong bài viết dưới đây giúp các bạn dễ dàng nắm vững kiến thức trọng tâm của bài.

1. Elip

Cho hai điểm cố định và phân biệt ${F_1},{F_2}$ . Đặt ${F_1}{F_2} = 2c > 0$ . Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho $M{F_1} + M{F_2} = 2a$ được gọi là đường elip (hay elip). Hai điểm ${F_1},{F_2}$ được gọi là hai tiêu điểm và ${F_1}{F_2} = 2c$ được gọi là tiêu cự của elip đó.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 với a > b > 0$ . (2)

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2), với a > b > 0, đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right)$ , tiêu cự $2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}}$ và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.

Ví dụ: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.

Giải

Ta có: a² = 25, b² = 16. Do đó $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3$ . Vậy elip có hai tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 3;0} \right);{F_2}\left( {3;0} \right)$ và tiêu cự là ${F_1}{F_2} = 2c = 6$ . Ta có $a = \sqrt {25} = 5$ , nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a= 10.

2. Hypebol

Cho hai điểm phân biệt có định ${F_1}$ và ${F_2}$ . Đặt ${F_1}{F_2} = 2c$ . Cho số thực dương a nhỏ hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho $\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2c$ được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm ${{F_1},{F_2}}$ được gọi là hai tiêu điểm và ${F_1}{F_2} = 2c$ được gọi là tiêu cự của hypebol đó.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 với a,b > 0$ . (4)

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (4), với a, b >0, đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right)$ , tiêu cự $2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}}$ và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mối điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình (4) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng.

Ví dụ: Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?

Giải

Ta có ${a^2} = 9,{b^2} = 16, nên c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5$ . Vậy hypebol có hai tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)$ và có tiêu cự 2c = 10. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng $2{\rm{a}} = 2\sqrt 9 = 6$ .

3. Parabol

Cho một điểm F có định và một đường thẳng $\Delta$ cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và $\Delta$ được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là tiêu điểm, $\Delta$ được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến $\Delta$ được gọi là tham số tiêu của parabol đó.

Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn $\Delta$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên $\Delta$ . Khi đó, trong hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol (P) có phương trình

${y^2} = 2p{\rm{x}}$ (với p > 0) (5)

Phương trình (5) được gọi là phương trình chính tắc của parabol (P).

Ngược lại, mỗi phương trình dạng (5), với p > 0, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm $F\left( {\frac{p}{2};0} \right)$ và đường chuẩn $\Delta :x = - \frac{p}{2}$ .

Ví dụ: Cho parabol (P): ${y^2} = x$ .

a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn $\Delta$ của (P).

b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.

Giải

a) Ta có 2p = 1 nên p = $\frac{1}{2}$ .

Parabol có tiêu điểm $F\left( {\frac{1}{4};0} \right)$ và đường chuẩn $\Delta :x = - \frac{1}{4}$

b) Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc (P) có khoảng các tới F bằng 3 khi và chỉ khi ${y_0}^2 = {x_0}$ và MF = 3.

Do MF = $d\left( {M,\Delta } \right)$ nên $d\left( {M,\Delta } \right) = 3$

Mặt khác $\Delta :x + \frac{1}{4} = 0$ và ${x_0} = {y_0}^2 \ge 0$ nên $3 = d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}$ .

Vậy ${x_0} = \frac{{11}}{4} và {y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2} hoặc {y_0} = - \frac{{\sqrt {11} }}{2}$ .

Vậy có hai điểm M thoả mãn bài toán với toạ độ là $\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right) và \left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)$ .

Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ chương 9 sách Chân trời sáng tạo do GiaiToan tổng hợp và đăng tải nhằm giúp các em nắm chắc kiến thức, từ đó áp dụng vào giải các bài tập Toán 10 đạt kết quả tốt. Tham khảo thêm các bài lý thuyết khác được đăng tải chi tiết bám sát chương trình học SGK Chân trời sáng tạo tại Lý thuyết Toán 10 CTST đồng thời tại chuyên mục Giải Toán 10 Chân trời sáng tạo Tập 2 có đầy đủ các bài tập do GiaiToan biên soạn để giúp bạn ôn luyện tại nhà.