Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp Toán 10 bài 2 sách Chân trời sáng tạo

1 Đánh giá

Lý thuyết Toán 10 CTST bài 2

1. Hoán vị
2. Chỉnh hợp
3. Tổ hợp
4. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay

Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp chương 8 CTST tập 2 với những kiến thức trọng tâm được GiaiToan tóm tắt đăng tải trong bài viết dưới đây, mời các bạn cùng tham khảo.

1. Hoán vị

Cho tập hợp A có n phần tử $(n \ge 1)$ .

Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự gọi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của A hay của n phần tử).

Kí hiệu Pn là số hoán vị của n phần tử

Người ta chứng minh được rằng:

Số các hoán vị của m phần tử $(n \ge 1)$ bằng

${P_n} = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...2.1.$

Chú ý:

+ Ta đưa vào kí hiệu: n! = $n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...2.1$ . và đọc là n giai thừa hoặc giai thừa của n.

Khi đó, Pn = n!.

+ Quy ước: 0! =1.

Ví dụ

Bãi đỗ xe ô tô còn lại ba chỗ trông như Hình bên dưới.

Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Có ba chiếc ö tô đkí hiệu A, B, C) đang đi vào bãi để đỗ xe.

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trông?

b) Vẽ sơ đồ hình cây về các cách sắp xếp và kiểm tra kết quả tính toán ở trên.

Giải

a) Mỗi cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là một hoán vị của ba chiếc xe. Do đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trồng là P3 = 3.2.1= 6 (cách)

b) Sơ đồ hình cây như Hình bên dưới.

Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Sơ đồ có ba cành lớn, mỗi cành lớn có hai cành vừa, mỗi cành vừa có một cành bé. Tử đó, số cành bẻ bằng 3.2. 1 =6. Từ đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trông là 6 cách.

2. Chỉnh hợp

Cho tập hợp A có n phân tử $(n \ge 1)$ và sô nguyên k với $1 \le k \le n$ .

Mỗi cách lây k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó.

Kí hiệu $A_n^k$ là số chỉnh hợp chập k của n phần tử.

Người ta chứng minh được rằng

Số các chỉnh hợp chập k của n phân tử $1 \le k \le n$ bằng

$A_n^k = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.$

Nhận xét: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Ta có: ${P_n} = A_n^k,n \ge 1$ .

Ví dụ:

Phần thi chung kết nôi dung chạy cư li 1 500 m của một giải đầu có 10 vận động viên tham gia. Có bao nhiêu khả năng về kết quả 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng sau khi phần thi kết thúc? Biết rằng không có hai vận đông viên nào về đích cùng lúc.

Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Giải

Mỗi kết quả về 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng của nội dung thi đấu là một chỉnh hợp chập 3 của 10 vận động viên.

Do đó, số kết quả có thể là $A_{10}^3 = 10.9.8 = 720$ .

3. Tổ hợp

Cho tập hợp A có n phân tử $(n \ge 1)$

Mỗi tập con gồm k phần tử $(1 \le k \le n)$ của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phân tử.

Kí hiệu $C_n^k$ là số tổ hợp chập k của n phần tử $1 \le k \le n$

Người ta chứng minh được rằng:

Số các tổ hợp chập k của n phần tử $1 \le k \le n$ bằng

$C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}$

Chú ý: Người ta quy ước $C_n^0 = 1.$

Ví dụ

Tổ Một có 9 thành viên. Tuần tới là phiên trực nhật của tổ, nên cần phân công 4 bạn đi bê ghế của lớp cho buổi chào cờ

a) Tổ có bao nhiều cách phân công 4 bạn đi bê ghế?

b) Tổ có bao nhiêu cách chọn 5 bạn không phải đi bê ghế?

Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Giải

a) Mỗi cách phân công 4 bạn từ 9 bạn là môt tô hợp chập 4 của 9 bạn. Do đó, số cách phân công 4 bạn của tổ đi bê ghế là

$C_9^4 = \frac{{9!}}{{4!5!}} = \frac{{9.8.7.6}}{{4.3.2}} = 126$ (cách)

b) Tương tự, sô cách chọn 5 bạn từ 9 bạn không phải đi bê ghế là

$C_9^5 = \frac{{9!}}{{5!4!}} = 126$ (cách)

Nhận xét: Ở ví dụ trên, ta thấy $C_9^4 = C_9^5$ Tổng quát, ta có hệ thức:

$C_n^k = C_n^{n - k}\left( {0 \le k \le n} \right)$

4. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay

Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Ví dụ

a) Đề tính ${P_8} = 8!$ , ta ấn liên tiếp các phím thì nhận được kết quả là 40 320.

Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

b) Để tính $A_{12}^5$ , ta ấn liên tiếp các phím thì nhân được kết quả là 95040.

Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

c) Để tính $C_{20}^{11}$ , ta ấn liên tiếp các phím thì nhận được kêt quả là 167960.

Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp chương 8 sách Chân trời sáng tạo do GiaiToan tổng hợp và đăng tải nhằm giúp các em nắm chắc kiến thức, từ đó áp dụng vào giải các bài tập Toán 10 đạt kết quả tốt. Tham khảo thêm các bài lý thuyết khác được đăng tải chi tiết bám sát chương trình học SGK Chân trời sáng tạo tại Lý thuyết Toán 10 CTST đồng thời tại chuyên mục Giải Toán 10 Chân trời sáng tạo Tập 2 có đầy đủ các bài tập do GiaiToan biên soạn để giúp bạn ôn luyện tại nhà.