Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ sách CD Giải Toán 10 sách Cánh Diều

1 Đánh giá

GiaiToan xin giới thiệu tới các em bài Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ trang 83 sách Cánh Diều. Với phần lý thuyết cùng với bài tập kèm theo giúp các em học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10. Mời các em cùng tham khảo nội dung chi tiết dưới đây.

Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ
2. Hiệu của hai vectơ
3. Giải Toán 10 bài 4 SGK + SBT Cánh Diều

1. Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

1.1. Định nghĩa

– Với ba điểm bất kì A, B, C, vectơ $\underset{AC}{\rightarrow}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\underset{AB}{\rightarrow}$ và $\underset{BC}{\rightarrow}$ , kí hiệu là $\underset{AC}{\rightarrow}$ = $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{BC}{\rightarrow}$

Tổng của hai vectơ

– Cho hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$ . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $\underset{AB}{\rightarrow}$ = $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{BC}{\rightarrow}$ = $\underset{b}{\rightarrow}$ . Vectơ $\underset{AB}{\rightarrow}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$ . Ta kí hiệu tổng của hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$ là $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ . Vậy $\underset{AC}{\rightarrow}$ = $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$

Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tính:

a) $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {DC}$

b) $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {OC}$

Hướng dẫn giải:

Tổng của hai vectơ

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD và AB = CD.

⇒ $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB}$

⇒ $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB}=\overrightarrow {OB}$

b) Vì A, O, C thẳng hàng (O là trung điểm của đường chéo AC)

⇒ $\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {CO}$

⇒ $\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CO}=\overrightarrow {BO}$

1.2. Quy tắc hình bình hành

Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AC}$

Ví dụ: Chứng minh quy tắc hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {BC}$

Suy ra: $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}$

1.3. Tính chất

Với ba vectơ tùy ý $\underset{a}{\rightarrow}$ , $\underset{b}{\rightarrow}$ , $\underset{C}{\rightarrow}$ ta có:

$\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ = $\underset{b}{\rightarrow}$ + $\underset{a}{\rightarrow}$ (tính chất giao hoán) ;

( $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ ) + $\underset{C}{\rightarrow}$ = $\underset{a}{\rightarrow}$ + ( $\underset{b}{\rightarrow}$ + $\underset{C}{\rightarrow}$ ) (tính chất kết hợp);

$\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{0}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ + $\underset{a}{\rightarrow}$ = $\underset{a}{\rightarrow}$ (tính chất của vectơ–không).

Chú ý: Tổng ba vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ + $\underset{C}{\rightarrow}$ được xác định theo một trong hai cách sau:

( $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ ) + $\underset{C}{\rightarrow}$ hoặc $\underset{a}{\rightarrow}$ + ( $\underset{b}{\rightarrow}$ + $\underset{C}{\rightarrow}$ ).

Ví dụ: Cho 5 điểm tùy ý A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {EC}+\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {BE}=\overrightarrow {BA}$

b) $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {EA}=\overrightarrow {CB}+\overrightarrow {ED}$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {EC}+\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {BE}$

$=\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {BE}+\overrightarrow {EC}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$=(\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DA})+(\overrightarrow {BE}+\overrightarrow {EC})$ (áp dụng tính chất kết hợp)

$=\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {BC}$ (áp dụng quy tắc cộng vectơ)

$=\overrightarrow {BC} +\overrightarrow {CA}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow {BA}$ (áp dụng quy tắc cộng vectơ) (đpcm).

Vậy $\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {EC}+\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {BE} =\overrightarrow {BA}$

b) Ta có:

$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {EA}$

$=(\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {CB})+\overrightarrow {CD}+(\overrightarrow {ED}+\overrightarrow {DA})$ (áp dụng quy tắc cộng vectơ)

$=\overrightarrow {CB}+\overrightarrow {ED}+\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {CD} =\overrightarrow {DA}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow {CB}+\overrightarrow {ED}+(\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {CD}) +\overrightarrow {DA}$ (áp dụng tính chất kết hợp)

$=\overrightarrow {CB}+\overrightarrow {ED}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DA}$ (áp dụng quy tắc cộng vectơ)

$=\overrightarrow {CB}+\overrightarrow {ED}+(\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DA})$ (áp dụng tính chất kết hợp)

$=\overrightarrow {CB}+\overrightarrow {ED}+\overrightarrow {AA}$

$=\overrightarrow {CB}+\overrightarrow {ED}+\overrightarrow {0}$ (vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vectơ–không)

$=\overrightarrow {CB}+\overrightarrow {ED}$ (áp dụng tính chất vectơ–không) (đpcm).

2. Hiệu của hai vectơ

2.1. Hai vectơ đối nhau

Định nghĩa: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ , kí hiệu là $-\overrightarrow {a}$ . Hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $-\overrightarrow {a}$ được gọi là hai vectơ đối nhau.

Quy ước: Vectơ đối của vectơ $\underset{0}{\rightarrow}$ là vectơ $\underset{0}{\rightarrow}$ .

Nhận xét:

+) $\underset{a}{\rightarrow}$ + ( $-\overrightarrow {a}$ ) = ( $-\overrightarrow {a}$ ) + $\underset{a}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$

+) Hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ , $\underset{b}{\rightarrow}$ là hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ .

+) Với hai điểm A, B, ta có: $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BA}=\overrightarrow {0}$ .

Lưu ý: Cho hai điểm A, B. Khi đó hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BA}$ là hai vectơ đối nhau, tức là $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA}$ .

Chú ý:

– I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\left | \overrightarrow {A}+ \right | \overrightarrow {B}=\overrightarrow {0}$ .

– G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC} =\overrightarrow {0}$

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Tìm vectơ đối của các vectơ $\overrightarrow {AB}$ , $\overrightarrow {AO}$ .

Hai vectơ đối nhau

Hướng dẫn giải:

+ Vì $\left | \overrightarrow {BA} \right | =\left | \overrightarrow {AB} \right | =AB$ và $\overrightarrow {BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow {AB}$

$=>\overrightarrow {BA}=-\overrightarrow {AB}$

Þ $\overrightarrow {BA}$ là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {AB}$ .

+ Vì AB = CD, AB // CD (ABCD là hình vuông)

⇒ $\overrightarrow {AB} =\overrightarrow {CD}$ và $\overrightarrow {CD}$ ngược hướng với $\overrightarrow {AB}$

$=>\overrightarrow {CD}=-\overrightarrow {AB}$

Þ $\overrightarrow {CD}$ là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {AB}$ .

Vì A, O, C là ba điểm thẳng hàng và OA = OC (ABCD là hình vuông)

⇒ $\overrightarrow {AO}$ ngược hướng với $\overrightarrow {CO}$ và $\overrightarrow {AO} =\overrightarrow {CO}$

$=>\overrightarrow {CO} =-\overrightarrow {AO}$

Þ $\overrightarrow {CO}$ là vectơ đối của $\overrightarrow {AO}$ .

Vậy $\overrightarrow {BA}$ , $\overrightarrow {CD}$ là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CO}$ là vectơ đối của $\overrightarrow {AO}$ .

2.2. Hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$ , kí hiệu là $\underset{a}{\rightarrow}$ – $\underset{b}{\rightarrow}$ , là tổng của vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và vectơ đối của vectơ $\underset{b}{\rightarrow}$ , tức là $\underset{a}{\rightarrow}$ – $\underset{b}{\rightarrow}$ = $\underset{a}{\rightarrow}$ + (– $\underset{b}{\rightarrow}$ ).

Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ hai vectơ.

Nhận xét: Với ba điểm bất kì A, B, O ta có: $\overrightarrow {AB} =\overrightarrow {OB} -\overrightarrow {OA}$ .

Ví dụ: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow {AB} -\overrightarrow {AD} =\overrightarrow {DC} -\overrightarrow {BC}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\overrightarrow {AB} -\overrightarrow {AD} =\overrightarrow {DB}$ (áp dụng quy tắc về hiệu hai vectơ) (1)

$\overrightarrow {DC} -\overrightarrow {BC} =\overrightarrow {DC} +(-\overrightarrow {BC})=\overrightarrow {DC}+\overrightarrow {CB}=\overrightarrow {DB}$ (vectơ đối) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow {AB} -\overrightarrow {AD} =\overrightarrow {DC} -\overrightarrow {BC}$ (đpcm).

3. Giải Toán 10 bài 4 SGK + SBT Cánh Diều

>>> Bài tiếp theo: Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ sách CD

>>> Bài trước: Toán 10 Bài 3: Khái niệm vectơ sách CD

Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ sách CD được GiaiToan chia sẻ xong trên đây. Hy vọng với phần lý thuyết này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức, từ đó áp dụng vào giải các bài tập về Tổng và hiệu của hai vectơ, qua đó chuẩn bị tốt cho bài thi giữa học kì và cuối học kì môn Toán lớp 10 sắp tới. Chúc các em học tốt, ngoài ra các em cũng đừng quên tham khảo các dạng bài tập Toán lớp 10 tại chuyên mục Giải Toán 10 Cánh Diều Tập 1 do GiaiToan biên soạn nhé.