Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ Toán 10 bài 2 sách Cánh Diều

1 Đánh giá

Lý thuyết Toán 10 CD bài 2

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto
2. Toạ độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ kiến thức trọng tâm bài học cũng như áp dụng vào giải toán 10 được GiaiToan đăng tải dưới đây, mời các bạn cùng tham khảo.

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

Cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$ và số thực k. Khi đó:

$\begin{array}{l} 1)\;\;\;\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right);\\ 2)\;\;\;\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {{a_1} - {b_1};{a_2} - {b_2}} \right);\\ 3)\;\;\;k\overrightarrow a = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right);\\ 4)\;\;\;\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}. \end{array}$

Ví dụ: Cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;5} \right),\overrightarrow b = \left( {4; - 2} \right)$ . Tìm toạ độ của các vectơ $\overrightarrow a + \overrightarrow b ,\overrightarrow a - \overrightarrow b ,3\overrightarrow a , - 5\overrightarrow b$

Giải

$\begin{array}{l} \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {1 + 4;5 + \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {5;3} \right);\\ \overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {1 - 4;5 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 3;7} \right);\\ 3\overrightarrow a = \left( {3.1;3.5} \right) = \left( {3;15} \right);\\ - 5.\overrightarrow b = \left( { - 5.4; - 5.\left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 20;10} \right) \end{array}$

2. Toạ độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác

+ Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$ . Tọa độ trung điểm $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ của đoạn thẳng AB là

${x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}$

+ Cho tam giác ABC có $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$ . Tọa độ trọng tâm $G\left( {{x_G};{y_G}} \right)$ của tam giác ABC là:

${x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}$

Ví dụ

Cho tam giác MNP có tọa độ các đỉnh là M(2; 2), N(6; 3) và P(5; 5)

a) Tìm tọa đô trung điểm E của cạnh MN.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Giải

Ta có: ${x_E} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{2 + 6}}{2} = 4;{y_E} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{5}{2}. Vậy E\left( {4;\frac{5}{2}} \right)$

Ta có: ${x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{2 + 6 + 5}}{3} = \frac{{13}}{3};{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{2 + 3 + 5}}{3} = \frac{{10}}{3}$

Vậy $G\left( {\frac{{13}}{3};\frac{{10}}{3}} \right)$

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2}} \right) thì \overrightarrow u .\overrightarrow v = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}.$

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 2), B(1; - 1), C(8; 0).

a) Tính $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}$ và $cos\widehat {ABC}$ .

b) Chứng minh $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC}$ .

c) Giải tam giác ABC.

Giải

a) Ta có: $\overrightarrow {BA} = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {7;1} \right)$ . Do đó $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 1.7 + 3.1 = 10$ .

Mặt khác, ta cũng có:

$\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} ,\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{7^2} + {1^2}} = \sqrt {50} ,\\ cos\widehat {ABC} = cos\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {50} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \end{array}$

b) Do $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 3} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 2} \right)$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( { - 1} \right).6 + \left( { - 3} \right).\left( { - 2} \right) = 0$ .

Vậy $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC}$ .

c) Do $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC}$ nên $\widehat {BAC} = {90^0}$ , tức là tam giác ABC vuông tại A.

Mà $cos\widehat {ABC} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} nên \widehat {ABC} \approx {63^0}$ . Vì thế $\widehat {ACB} \approx {90^0} - {63^0} = {27^0}.$

Mặt khác, ta có:

$\begin{array}{l} AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {10} ,\\ BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 ,\\ CA = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}} = 2\sqrt {10} \end{array}$

Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ chương 7 Cánh Diều 10 tập 2 do GiaiToan tổng hợp và đăng tải nhằm giúp các em nắm chắc kiến thức, từ đó áp dụng vào giải các bài tập Toán 10 đạt kết quả tốt. Tại chuyên mục Lý thuyết Toán 10 CD có đầy đủ các các bài học chia theo từng chương bám sát chương trình học SGK Cánh diều 10 đồng thời tại chuyên mục Giải Toán 10 Cánh Diều Tập 2 có đầy đủ các bài tập do GiaiToan biên soạn để giúp bạn ôn luyện tại nhà.