Giaitoan.com Toán 10 Toán 11 Toán 12

sin2x = ? Công thức lượng giác

Nội dung
  • 21 Đánh giá

Công thức sin cos

Công thức lượng giác cơ bản đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán biến đổi công thức lượng giác 10, 11 và lớp 12. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề lượng giác. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

Công thức nhân đôi

A. Công thức sin2x

\begin{matrix} \sin 2x = 2\sin x.\cos x \hfill \\ \sin 2x = \dfrac{{2\tan \left( x \right)}}{{1 + {{\tan }^2}\left( x \right)}} \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ: Biến đổi  A = 1 + sin2x thành tích

Hướng dẫn giải

A = 1 + sin2x

A = sin2x + cos2x + 2sinxcosx

A = (sinx + cosx)2

A = (sinx + cosx)(sinx + cosx)

Ví dụ:  Biến đổi thành tích: 1 + sin2x - cos2x - tan2x

Hướng dẫn giải

Ta có: 1 + sin2x - cos2x - tan2x

= 1 + sin2x - cos2x – sin2x/cos2x

= [cos2x (1 + sin2x) – cos22x – sin2x]/cos2x

= [sin2x(cos2x – 1) – cos22x + cos2x]/cos2x

= [sin2x(cos2x – 1) – cos2x(cos2x – 1)]/cos2x

Ví dụ: Biến đổi thành tích: sinx - sin2x + sin3x

Hướng dẫn giải

Ta có:

Sinx - sin2x + sin3x

= sinx – 2sinx.cosx + 3sinx – 4sin3x

= -4sin3x + 4sinx – 2sinx.cosx

= 2sinx(-2sin2x +2 – cosx)

= 2sinx.(-2sin2x + 2sin2x + 2cos2x – cosx)

= 2sinx.(2cos2x – cosx)

= 2sinx.cosx(2cosx – 1)

= sin2x. (2cosx – 1)

Ví dụ: Chứng minh các đẳng thức sau:

a)  {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8} + x} \right) - {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8} - x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x

b) \sin x.\left( {1 + \cos 2x} \right) = \sin 2x.\cos x

c) \tan x - \frac{1}{{\tan x}} = - \frac{2}{{\tan 2x}}

d) \tan \frac{x}{2}\left( {\frac{1}{{\cos x}} + 1} \right) = \tan x

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi vế trái ta có:

{\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8} + x} \right) - {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8} - x} \right)

= \frac{{1 - \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right)}}{2} - \frac{{1 - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)}}{2}

= \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right)}}{2}

= \frac{{ - 2\sin \frac{\pi }{4}.\sin \left( { - 2x} \right)}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin 2x = VP

=> Điều phải chứng minh

b) Biến đổi vế trái ta có:

\sin x.\left( {1 + \cos 2x} \right)

= 2\sin x.\cos x.\cos x

= \sin 2x.\cos 2x = VP

=> Điều phải chứng minh

c) Biến đổi vế trái ta có:

\tan x - \frac{1}{{\tan x}}

= \frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}}

= \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}}

= \frac{{ - \cos 2x}}{{\frac{1}{2}\sin 2x}} = \frac{{ - 2}}{{\tan 2x}} = VP

=> Điều phải chứng minh

d) Biến đổi vế trái ta có:

\tan \frac{x}{2}\left( {\frac{1}{{\cos x}} + 1} \right)

= \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}}.\frac{{1 + \cos x}}{{2\cos x}}

= \frac{{\sin \frac{x}{2}.2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{2\cos \frac{x}{2}.\cos x}}

= 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}.\frac{1}{{\cos x}} = \tan x = VP

=> Điều phải chứng minh

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = \frac{{1 + \sin x - 2{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)}}{{4.\cos \frac{x}{2}}}

b) B = \frac{{{{\cos }^2}x.\sin x - {{\sin }^2}x.\cos x}}{{\sin 2x.\cos 2x}}

c) B = \frac{{{{\cos }^2}x.\sin x - {{\sin }^2}x.\cos x}}{{\sin 2x.\cos 2x}}

d) D = \frac{{{{\sin }^2}2x - 4{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}2x\left( {4{{\sin }^2}x - 4} \right)}}

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện \cos \frac{x}{2} \ne 0

A = \frac{{1 + \sin x - 2{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)}}{{4.\cos \frac{x}{2}}}

A = \frac{{1 + \sin x - \left[ {1 - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \right]}}{{4.\cos \frac{x}{2}}}

A = \frac{{\sin x - \sin x}}{{4.\cos \frac{x}{2}}} = 0

b) Ta có:

Điều kiện \cos 2x.\sin 2x \ne 0

B = \frac{{{{\cos }^2}x.\sin x - {{\sin }^2}x.\cos x}}{{\sin 2x.\cos 2x}}

B = \frac{{\cos x.\sin x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)}}{{\sin 2x.\cos 2x}}

B = \frac{{\cos x.\sin x.\cos 2x}}{{\sin 2x.\cos 2x}} = \frac{1}{2}

c) Ta có:

Điều kiện: \left( {1 + \cos 4x} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right) \ne 0

C = \frac{{\sin 4x.\cos 2x}}{{\left( {1 + \cos 4x} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right)}}

C = \frac{{2.\sin 2x\cos 2x.\cos 2x}}{{2{{\cos }^2}2x.{{\cos }^2}x}}

C = \frac{{\sin 2x}}{{2{{\cos }^2}x}}

C = \frac{{2.\cos x\sin x}}{{2{{\cos }^2}x}} = \tan x

d) Ta có:

D = \frac{{{{\sin }^2}2x - 4{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}2x\left( {4{{\sin }^2}x - 4} \right)}}

D = \frac{{4{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x - 4{{\sin }^2}x}}{{4{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x - 4{{\cos }^2}x}}

D = \frac{{{{\sin }^2}x\left( {{{\cos }^2}x - 1} \right)}}{{{{\cos }^2}x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right)}} = \frac{{ - {{\sin }^4}x}}{{ - {{\cos }^4}x}} = {\tan ^4}x

B. Hàm số y = sin2x

Tập xác định của hàm số y = sin2x

Tập xác định D = \mathbb{R}

Tập giá trị của y = sin2x

-1 ≤ sin2x ≤ 1

=> Giá trị lớn nhất của y = sin2x bằng 1

=> Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin2x bằng -1

Tính chẵn lẻ của hàm số y = sin2x

Với x ∈ D => -x ∈ D ta có:

y = sin2x

y(-x) = sin(-2x) = -sin2x

=> y(x) = - y(-x)

=> Hàm số là hàm số lẻ

Vậy hàm số y = sin2x là hàm số lẻ

Chu kì tuần hoàn của hàm số y = sin2x

Hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì T = π

Công thức mở rộng:

Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}

C. Đồ thị hàm số y = sin2x

sin2x

Hàm số nghịch biến trên khoảng \left( {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right);\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

D. Đạo hàm sin2x

y = sin2x

=> y’ = (sin2x)’

=> y’ = (2x)’ . [cos(2x)]

=> y’ = 2.cos(2x)

Vậy đạo hàm của y = sin2x là y’ = 2cos(2x)

E. Nguyên hàm sin2x

\int {\sin 2xdx = \frac{1}{2}\int {\sin 2xd\left( {2x} \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + C} }

Vậy họ nguyên hàm của hàm số y = sin2x là \int {\sin 2xdx = - \frac{1}{2}\cos 2x + C}

F. Phương trình lượng giác

-------------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề công thức lượng giác là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: Bơ
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 104.776
Tìm thêm: Toán 10 Công thức Toán 10
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Tài liệu tham khảo khác

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần