Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác Toán 7 sách Kết nối tri thức

a) Đường trung tuyến của ba đường trung tuyến

Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC (Hình bên).

b) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

Định lí 1

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng  độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Chẳng hạn, trong tam giác ABC (hình sau), các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G và ta có

Chú ý: Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với AM là trung tuyến và G là trọng tâm tam giác.

a) Chứng minh GA = 2GM.

b) Biết GM = 2 cm, tính GA.

Giải

Chứng minh

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

hay .

Ta có:

Vậy

b) Khi GM = 2 cm thì GA = 4 cm.

a) Đường trung tuyến của tam giác

Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh 8C tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC (Hình sau).

b) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

Định lí 2

Chẳng hạn, trong tam giác ABC (Hình sau), các đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại I và IH = IK = IL.

Ví dụ: Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, giao điểm của ba đường phân giác nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A (Hình sau).

Giải

Chứng minh

Gọi M là giao điểm của đường thẳng AI và BC.

Hai tam giác ABM và ACM có:

AB= AC (gt),

AM chung,

(do AI là đường phân giác của góc BAC).

Do đó .

Suy ra BM = CM hay Mlà trung điểm của BC.

Vậy AI là đường trung tuyến của tam giác ABC.