Cosx = 0 Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

23 Đánh giá

Giải phương trình lượng giác cơ bản

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán hàm số lượng giác. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề phương trình lượng giác. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

Giải phương trình cos x

Cos x = 0

=> $x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$

Cos x = 1

=> $x = k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

Cos x = – 1

=> $x = - \pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

Cách giải phương trình **cos x = a (*)**

+ Nếu |a| > 1 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu |a| ≤ 1 ⇒ ∃β ∈ [0; π], cos β = a

Từ phương trinh (*) $\Rightarrow \cos x = \cos \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \beta + k2\pi } \\ {x = - \beta + k2\pi } \end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})$

Chú ý: Nếu β thỏa mãn điều kiện thì β = arccos a

Mở rộng phương trình ta có

Cos f(x) = Cos g(x) $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) = g(x) + k2\pi } \\ {f(x) = - g(x) + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.$

Ví dụ: Giải phương trình

a. cos 2x = 0

b. $\cos \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1$

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$\begin{matrix} \cos 2x = 0 \hfill \\ \Rightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

b. Ta có:

$\begin{matrix} \cos \left( {3x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 3x - \dfrac{\pi }{3} = k2\pi \hfill \\ \Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k2\pi }}{3},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ: Giải phương trình ${\text{cosx}} = \cos \frac{\pi }{3}$

Hướng dẫn giải

${\text{cosx}} = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau:

a) $\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 0$

b) $\cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0$

Hướng dẫn giải

a) $\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 0$

$\begin{matrix} \cos \left( {\dfrac{{3x}}{2} - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{2} - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{2} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{2k\pi }}{3},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{\pi }{2} + \frac{{2k\pi }}{3},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) $\cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0$

$\begin{matrix} \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Ví dụ: Giải phương trình lượng giác cos 2x – cos x = 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

cos 2x – cos x = 0

⇔ 2cos²x – 1 – cos x = 0

Đặt cos x = t (điều kiện t ∈ [– 1; 1]

Phương trình trở thành:

2t² – t – 1 = 0

Dễ thấy 2 – 1 – 1 = 0

Suy ra phương trình có nghiệm t = 1 hoặc t = – 1/2 (thỏa mãn điều kiện đề bài)

Với t = 1 => cos x = 1 ⇒ x = k2π; (k ∈ Z)

Với t = – 1/2 => $\cos x = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

D. Phương trình lượng giác thường gặp

Ví dụ 1: Giải phương trình sin 2x – cos x = 0

Hướng dẫn giải

sin 2x – cos x = 0

⇒ 2sin x . cos x – cos x = 0

⇒ cos x . (2sin x – 1) = 0

⇒ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x = 0} \\ {\sin x = \dfrac{1}{2}} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi ,x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi } \end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Ví dụ 2: Phương trình cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; 2018π)?

A. 2 017

B. 2 018

C. 2 019

D. 1 009

Hướng dẫn giải

Ta có: cos x = 0

⇒ $x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$

Theo bài ra ta có: 0 < x < 2018π suy ra:

$\begin{matrix} 0 < \dfrac{\pi }{2} + k\pi < 2018\pi \hfill \\ \Rightarrow - \dfrac{\pi }{2} < k\pi < \dfrac{{4035\pi }}{2} \hfill \\ \Rightarrow - \dfrac{1}{2} < k < \frac{{4035}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Mà k thuộc số nguyên ⇒ k ∈ {0; 1; 2; 3; ...; 2 017}

⇒ Có 2 018 giá trị k thỏa mãn

⇒ Có 2 018 nghiệm thỏa mãn

Vậy chọn đáp án B

Ví dụ 3: Tính tổng S tất cả các nghiệm trên khoảng (0; 100π) của phương trình cos x = 0

A. S = 4950π

B. S = 5000π

C. S = 5050π

D. 5100π

Hướng dẫn giải

Ta có:

cos x = 0

⇒ $x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$

Theo bài ra ta có: 0 < x < 100π suy ra:

Mà k thuộc số nguyên ⇒ k ∈ {0; 1; 2; 3; ...; 99}

⇒ $S = \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2} + \pi + \frac{\pi }{2} + 2\pi + \frac{\pi }{2} + ... + \frac{\pi }{2} + 99\pi$

⇒ $100.\frac{\pi }{2} + \pi .\frac{{99.100}}{2}$

⇒ S = 5000π

Vậy chọn đáp án B

Ví dụ 4: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos² x – cos x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < π.

A. x = π

B. $x=\frac{\pi}{4}$

C. $x=\frac{\pi}{2}$

D. x = 0

Ta có: cos² x – cos x = 0

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x = 0} \\ {\cos x =1} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\ {x =k2\pi } \end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Với $x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$ , do 0 < x < π nên ta được $x=\frac{\pi}{2}$

Với x = k2π, do 0 < x < π nên không có x nào thỏa mãn.

Vậy chọn C.

----------------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Phương trình lượng giác 11 là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: