Cosx = 0 Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

Nội dung
  • 23 Đánh giá

Giải phương trình lượng giác cơ bản

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán hàm số lượng giác 12. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề phương trình lượng giác lớp 12. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

Giải phương trình cosx

Cos x = 0

=>x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})

Cos x = 1

=> x = k2\pi (k \in \mathbb{Z})

Cos x = -1

=>x =  - \pi  + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

Cách giải phương trình cos x = a (*)

+ Nếu |a| > 1 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu \left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta  \in \left[ {0,\pi } \right],\cos \beta  = a

Từ phương trinh (*) \Rightarrow \cos x = \cos \beta  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = \beta  + k2\pi } \\ 
  {x =  - \beta  + k2\pi } 
\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

Chú ý: Nếu \beta thỏa mãn điều kiện thì \beta  = \arccos a

Mở rộng phương trình ta có

Cos f(x) = Cos g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x) = g(x) + k2\pi } \\ 
  {f(x) =  - g(x) + k2\pi } 
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.

Ví dụ: Giải phương trình

a. cos 2x = 0

b. \cos \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\begin{matrix}
  \cos 2x = 0 \hfill \\
   \Rightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \hfill \\
   \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ 
\end{matrix}

b. Ta có:

\begin{matrix}  \cos \left( {3x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1 \hfill \\   \Leftrightarrow 3x - \dfrac{\pi }{3} = k2\pi  \hfill \\   \Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi  \hfill \\   \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k2\pi }}{3},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ: Giải phương trình {\text{cosx}} = \cos \frac{\pi }{3}

Hướng dẫn giải

{\text{cosx}} = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau:

a) \cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 0b) \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0

Hướng dẫn giải

a) \cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 0

\begin{matrix}
  \cos \left( {\dfrac{{3x}}{2} - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \hfill \\
   \Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{2} - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \hfill \\
   \Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{4} + k\pi  \hfill \\
   \Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{2} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi  \hfill \\
   \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{2k\pi }}{3},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ 
\end{matrix}

Vậy phương trình có nghiệm là x = \frac{\pi }{2} + \frac{{2k\pi }}{3},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

b) \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0

\begin{matrix}
  \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\
   \Leftrightarrow 2x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \hfill \\
   \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{6} + k\pi  \hfill \\
   \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi  \hfill \\
   \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ 
\end{matrix}

Vậy phương trình có nghiệm là: x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Ví dụ: Giải phương trình lượng giác cos2x - cosx = 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

cos2x - cosx = 0

<=> 2cos2x - 1 - cosx = 0

Đặt cosx = t (điều kiện t ∈ [-1; 1]

Phương trình trở thành:

2t2 - t - 1 = 0

Dễ thấy 2 - 1 - 1 = 0

Suy ra phương trình có nghiệm t = 1 hoặc t = -1/2 (thỏa mãn điều kiện đề bài)

Với t = 1 => \cos x = 1 \Rightarrow x = k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Với t = -1/2 => \cos x = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

D. Phương trình lượng giác thường gặp

Ví dụ: Giải phương trình sin2x - cosx = 0

Hướng dẫn giải

sin2x - cosx = 0

=> 2sinx.cosx - cosx = 0

=> cosx . (2sinx - 1) = 0

=> \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\cos x = 0} \\ 
  {\sin x = \dfrac{1}{2}} 
\end{array}} \right.

=> \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\   {x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi ,x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi } \end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Ví dụ: Phương trình cosx = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; 2018π)?

A. 2017B. 2018C. 2019D. 1009

Hướng dẫn giải

Ta có:

cosx = 0

=> x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})

Theo bài ra ta có: 0 < x < 2018π suy ra:

\begin{matrix}
  0 < \dfrac{\pi }{2} + k\pi  < 2018\pi  \hfill \\
   \Rightarrow  - \dfrac{\pi }{2} < k\pi  < \dfrac{{4035\pi }}{2} \hfill \\
   \Rightarrow  - \dfrac{1}{2} < k < \frac{{4035}}{2} \hfill \\ 
\end{matrix}

Mà k thuộc số nguyên => k ∈ {0; 1; 2; 3; ...; 2017}

=> Có 2018 giá trị k thỏa mãn

=> Có 2018 nghiệm thỏa mãn

Vậy chọn đáp án B

Ví dụ: Tính tổng S tất cả các nghiệm trên khoảng (0; 100π) của phương trình cosx = 0

A. S = 4950πB. S = 5000πC. S = 5050πD. 5100π

Hướng dẫn giải

Ta có:

cosx = 0

=> x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})

Theo bài ra ta có: 0 < x < 100π suy ra:

Mà k thuộc số nguyên => k ∈ {0; 1; 2; 3; ...; 99}

=> S = \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2} + \pi  + \frac{\pi }{2} + 2\pi  + \frac{\pi }{2} + ... + \frac{\pi }{2} + 99\pi

=> 100.\frac{\pi }{2} + \pi .\frac{{99.100}}{2}

=> S = 5000π

Vậy chọn đáp án B

----------------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Phương trình lượng giác 11 là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: Kim Ngưu
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 135.725
Tìm thêm: Toán 12
Sắp xếp theo

    Chủ đề liên quan