Giaitoan.com Toán 11

Sinx = 0 Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

Nội dung
  • 39 Đánh giá

Giải phương trình lượng giác cơ bản

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán hàm số lượng giác 11. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề phương trình lượng giác lớp 11. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Các phương trình sin x đặc biệt

Sin x = 0

⇒ x = k\pi (k \in \mathbb{Z})

Sin x = 1

⇒x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

Sin x = – 1

⇒ x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

Giải phương trình sin x = a (*)

• Nếu |a| > 1 thì phương trình vô nghiệm

• Nếu \left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right],\sin \beta = a

(*) \Rightarrow \sin x = \sin \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \beta + k2\pi } \\ {x = \pi - \beta + k2\pi } \end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

Chú ý: Nếu β thỏa mãn điều kiện thì β = arcsin a

Mở rộng phương trình ta có

Sin f(x) = Sin g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) = g(x) + k2\pi } \\ {f(x) = \pi - g(x) + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.

Ví dụ: Giải phương trình

a. \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0

b. {\text{sin}}\left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = 0

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\begin{matrix} \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \hfill \\ \Rightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} = k\pi \hfill \\ \Rightarrow 2x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

b. Ta có:

\begin{matrix} {\text{sin}}\left( {\dfrac{\pi }{4} - 3x} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4} - 3x = k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi }{4} - k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{12}} - \dfrac{{k\pi }}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k'\pi }}{3},\left( {k' \in \mathbb{Z},k' = - k} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ: Giải phương trình

a. \sin (\pi sinx) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

b. {\text{sinx}} = \sin \frac{\pi }{3}

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\sin (\pi sinx) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\pi sinx = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {\pi sinx = \pi - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {sinx = \dfrac{1}{4} + 2k} \\ {sinx = \dfrac{3}{4} + 2k} \end{array}} \right.} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Do \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \leqslant \dfrac{1}{4} + 2k \leqslant 1} \\ { - 1 \leqslant \dfrac{3}{4} + 2k \leqslant 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow k = 0

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x = \dfrac{1}{4}} \\ {\sin x = \dfrac{3}{4}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \arcsin \dfrac{1}{4} + k'2\pi } \\ \begin{gathered} x = \pi - \arcsin \dfrac{1}{4} + k'2\pi \hfill \\ x = \arcsin \dfrac{3}{4} + k'2\pi \hfill \\ x = \pi - \arcsin \dfrac{3}{4} + k'2\pi \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

\operatorname{s} {\text{inx}} = \sin \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \pi - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.

Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau: sin (3x + 1) = sin (x – 2)

Hướng dẫn giải

sin (3x + 1) = sin (x – 2)

⇔ 3x + 1 = x – 2 + k2π (k ∈ Z)

⇔ 2x = – 3 + k2π (k ∈ Z)

⇔ x = 3/2 + kπ (k ∈ Z)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 3/2 + kπ (k ∈ Z)

Ví dụ: Giải phương trình lượng giác \sin x = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} \sin x = \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2x + \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {x = \pi - 2x - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \dfrac{\pi }{4} - k2\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Vậy phương trình có nghiệm x = - \frac{\pi }{4} - k2\pi ,x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k2\pi }}{3},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Phương trình lượng giác thường gặp

Ví dụ: Giải phương trình cot 3x . sin x = 0

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: sin 3x ≠ 0

cot 3x . sin x = 0

⇔ cot 3x = 0 hoặc sin x = 0, Loại (Do sin x = 0 thì sin 3x = 0)

⇔ cot 3x = 0

⇔ cos 3x = 0

⇔ 3x = π/2 + kπ, k nguyên

⇔ x = π/6 + kπ/3, k nguyên (thỏa mãn)

Ví dụ: Giải phương trình: sin2 x – sin x = 0

Hướng dẫn giải

sin2 x – sin x = 0

⇔ sin x (sin x – 1) = 0

⇔ Sin x = 1 hoặc sin x = 0

•) Trường hợp 1: Sin x = 1

⇔ x = π/2 + k2π (k ∈ Z)

Hoặc x = π – π/2 + k2π (k ∈ Z)

⇔ x = π/2 + k2π (k∈ Z)

•) Trường hợp 2: sin x = 0

⇔ x = kπ (k ∈ Z)

Hoặc x = π – kπ (k ∈ Z)

Vậy phương trình có nghiệm.....

Ví dụ: Phương trình sin x = 0 tương đương với phương trình nào sau đây?

A. sin x = 1B. cos x = 1C. sin 2x = 1D. cos2 x = 1

Hướng dẫn giải

Ta có: cos2 x = 1

⇔ 1 – sin2 x = 1

⇔ 1 – 02 = 1 (luôn đúng)

Chọn đáp án D

Bài tập

Giải các phương trình sau:

1) cos 2x + 3sin x – 2 = 0

2) sin (πcos 2x) = 1

3) sin (x + α) + cos (x – α) = 1 + sin α

4) 9sin x + 6cos x – 3sin 2x + cos 2x = 8.

Tham khảo một số phương trình khác:

----------------------------------------------------

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: Bắp
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 146.718
Tìm thêm: Toán 11 Chuyên đề Toán 11
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Tài liệu tham khảo khác

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần