Giaitoan.com Toán 11

Sinx = 0 Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

Nội dung
  • 38 Đánh giá

Giải phương trình lượng giác cơ bản

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán hàm số lượng giác 11. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề phương trình lượng giác lớp 11. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

Các phương trình sinx đặc biệt

Sin x = 0

=> x = k\pi (k \in \mathbb{Z})

Sin x = 1

=> x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

Sin x = -1

=>x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

Giải phương trình sin x = a (*)

+ Nếu \left| a \right| > 1 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu \left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right],\sin \beta = a

(*) \Rightarrow \sin x = \sin \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \beta + k2\pi } \\ {x = \pi - \beta + k2\pi } \end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

Chú ý: Nếu \beta thỏa mãn điều kiện thì \beta = \arcsin a

Mở rộng phương trình ta có

Sin f(x) = Sin g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) = g(x) + k2\pi } \\ {f(x) = \pi - g(x) + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.

Ví dụ: Giải phương trình

a. \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0

b. {\text{sin}}\left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = 0

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\begin{matrix} \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \hfill \\ \Rightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} = k\pi \hfill \\ \Rightarrow 2x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

b. Ta có:

\begin{matrix} {\text{sin}}\left( {\dfrac{\pi }{4} - 3x} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4} - 3x = k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi }{4} - k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{12}} - \dfrac{{k\pi }}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k'\pi }}{3},\left( {k' \in \mathbb{Z},k' = - k} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ: Giải phương trình

a. \sin (\pi sinx) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

b. {\text{sinx}} = \sin \frac{\pi }{3}

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\sin (\pi sinx) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\pi sinx = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {\pi sinx = \pi - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {sinx = \dfrac{1}{4} + 2k} \\ {sinx = \dfrac{3}{4} + 2k} \end{array}} \right.} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Do \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \leqslant \dfrac{1}{4} + 2k \leqslant 1} \\ { - 1 \leqslant \dfrac{3}{4} + 2k \leqslant 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow k = 0

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x = \dfrac{1}{4}} \\ {\sin x = \dfrac{3}{4}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \arcsin \dfrac{1}{4} + k'2\pi } \\ \begin{gathered} x = \pi - \arcsin \dfrac{1}{4} + k'2\pi \hfill \\ x = \arcsin \dfrac{3}{4} + k'2\pi \hfill \\ x = \pi - \arcsin \dfrac{3}{4} + k'2\pi \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

\operatorname{s} {\text{inx}} = \sin \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \pi - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.

Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau: sin(3x + 1) = sin(x - 2)

Hướng dẫn giải

 sin(3x + 1) = sin(x - 2)

<=> 3x + 1 = x - 2 + k2π (k ∈ \mathbb{Z})

<=> 2x = -3 + k2π (k ∈ \mathbb{Z})

<=> x = 3/2 + kπ (k ∈ \mathbb{Z})

Vậy phương trình có nghiệm là x = 3/2 + kπ (k ∈ \mathbb{Z})

Ví dụ: Giải phương trình lượng giác \sin x = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} \sin x = \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2x + \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {x = \pi - 2x - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \dfrac{\pi }{4} - k2\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Vậy phương trình có nghiệm x = - \frac{\pi }{4} - k2\pi ,x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k2\pi }}{3},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Phương trình lượng giác thường gặp

Ví dụ: Giải phương trình cot3x.sinx = 0

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: sin3x ≠ 0

cot3x . sinx = 0

<=> cot3x = 0 hoặc sinx = 0, Loại (Do sinx = 0 thì sin3x = 0)

<=> cot3x = 0

<=> cos3x = 0

<=> 3x = π/2 + kπ, k nguyên

<=> x = π/6 + kπ/3, k nguyên (thỏa mãn)

Ví dụ: Giải phương trình: sin²x - sinx = 0

Hướng dẫn giải

 sin²x - sinx = 0

<=> Sin x = 1 hoặc sinx = 0

+) Trường hợp 1: Sin x = 1

<=> x = π/2 + k2π (k ∈ Z)

Hoặc x = π - π/2 + k2π (k ∈ Z)

<=> x = π/2 + k2π (k∈ Z)

+) Trường hợp 2: sinx = 0

<=> x = kπ (k ∈ Z)

Hoặc x = π - kπ (k ∈ Z)

Vậy phương trình có nghiệm..... 

Ví dụ: Phương trình sinx = 0 tương đương với phương trình nào sau đây?

A. sinx = 1 B. cosx = 1 C. sin2x = 1 D. cos2x = 1

Hướng dẫn giải

Ta có: cos²x = 1

<=> 1 - sin²x = 1

<=> 1 - 0² = 1 (luôn đúng) 

Chọn đáp án D

Bài tập

Giải các phương trình sau:

1) cos2x + 3sinx - 2 = 0

2) sin(πcos2x) = 1

3) sin(x + \alpha) + cos(x - \alpha) = 1 + sin\alpha

4) 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8.

Tham khảo một số phương trình khác:

----------------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Phương trình lượng giác 11 là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: Bắp
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 139.414
Tìm thêm: Toán 11 Chuyên đề Toán 11
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

Tài liệu tham khảo khác

Chủ đề liên quan

Mới nhất trong tuần