Công thức tính lãi suất Bài toán lãi suất

10 Đánh giá

Công thức lãi đơn

Khách hàng gửi vào ngân hàng M đồng với lãi suất đơn a%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ kì hạn là:

$S = M\left( {1 + n.a} \right)$

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, GiaiToan.com xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Công thức Toán 12: Bài toán lãi suất. Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc những công thức tính lãi đơn, lãi kép, vay vốn ngân hàng, .. và các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Công thức lãi suất

1. Công thức tính lãi đơn
- Lãi đơn là gì?
- Công thức lãi đơn
2. Công thức lãi kép
- Lãi kép là gì?
- Công thức tính lãi kép
3. Tính lãi suất ngân hàng
4. Lãi suất gửi tiết kiệm ngân hàng
- Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng
5. Tính lãi suất vay ngân hàng
- Bài toán vay vốn trả góp
- Cách tính lãi suất vay ngân hàng
6. Cách tính lương
- Bài toán tăng lương
- Công thức tính lương
7. Bài toán rút sổ tiết kiệm theo định kỳ
8. Bài toán lãi suất

1. Công thức tính lãi đơn

Lãi đơn là gì?

- Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hàn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn tiếp theo cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra.

Công thức lãi đơn

$S = M\left( {1 + n.a} \right)$

2. Công thức lãi kép

Lãi kép là gì?

- Lãi kép: là tiền lại của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn tiếp theo

Công thức tính lãi kép

Khách hàng gửi vào ngân hàng M đồng với lãi suất kép a%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ kì hạn là:

$S = M{\left( {1 + a} \right)^n}$

3. Tính lãi suất ngân hàng

- Mỗi tháng gửi cùng một số tiền vào một thời gian cố định

- Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng M đồng với lãi suất kép a%/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ tháng là:

$S = \frac{M}{a}\left[ {{{\left( {1 + a} \right)}^n} - 1} \right]\left( {1 + a} \right)$

4. Lãi suất gửi tiết kiệm ngân hàng

Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

- Công thức tính: Gửi vào ngân hàng số tiền M đồng với lãi suất hàng tháng là a%, mỗi tháng rút ra m đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng, số tiền còn lại là bao nhiêu?

$S = M{\left( {1 + a} \right)^n} - m.\frac{{{{\left( {1 + a} \right)}^n} - 1}}{a}$

5. Tính lãi suất vay ngân hàng

Bài toán vay vốn trả góp

Vay M đồng với lãi suất a%/tháng. Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu tiền để sau n tháng thì hết nợ?

Cách tính lãi suất vay ngân hàng

Giả sử số tiền hàng tháng phải trả là: T (đồng)

$T = \frac{{M.a{{\left( {1 + a} \right)}^n}}}{{{{\left( {1 + a} \right)}^n} - 1}}$

6. Cách tính lương

Bài toán tăng lương

- Một người được lĩnh lương khởi điểm là K đồng/tháng. Cứ sau n tháng thì người đó được tăng thêm a%/lần. Hỏi sau x tháng thì người đó lĩnh được bao nhiêu tiền?

Công thức tính lương

$S = K.\frac{x}{n}.\frac{{{{\left( {1 + a} \right)}^{\frac{x}{n}}}}}{a}$

7. Bài toán rút sổ tiết kiệm theo định kỳ

Một người gửi vào sổ tiết kiệm ngân hàng số tiền N đồng Lãi suất r%/tháng. Nếu mỗi tháng người đó rút ra một số tiền như nhau là A đồng vào ngày ngân hàng trả lãi thì hàng tháng anh ta rút ra bao nhiêu tiền (làm tròn đến 1000 đồng) để sau đúng n năm sẽ vừa hết số tiền cả vốn lẫn lãi?

Sau tháng thứ n số tiền trong sổ anh ta vừa hết số tiền ta có công thức như sau:

$A = \frac{{N{{\left( {1 + r} \right)}^n}.r}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}$

Thực chất bài toán này giống như bài toán vay trả góp, trong toán vay trả góp thì người vay nợ ngân hàng, còn trong bài toán rút tiền này thì ngân hàng nợ người vay => bản chất không có gì khác

8. Bài toán lãi suất

Bài tập 1: Sinh viên B nhập học đại học vào tháng 8 năm 2016. Tháng 9/2016 anh bắt đầu vay ngân hàng 1 khoản 5 triệu đồng với lãi suất 0.9%/tháng vào ngày mồng 1 đầu tháng. Lãi tháng trước được cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng tiếp theo. Vào ngày mồng 1 hàng tháng kể từ tháng 9/2018 anh B không vay ngân hàng nữa và trả được cho ngân hàng 3 triệu đồng. Hỏi sau khi kết thúc ngày ra trường (30/06/2020) anh B còn nợ ngân hàng bao nhiêu tiền? (làm tròn đến hàng nghìn đồng)

A. 86.416.000 đồng	B. 87.577.000 đồng
C. 89.368.000 đồng	D. 88.641.000 đồng

Hướng dẫn giải

- Ta xác định được

+ Giai đoạn 1: Từ tháng 9/2016 đến hết 30/8/2016 là bài toán lãi suất kép

+ Giai đoạn 2: Từ tháng 9/2016 đến tháng 6/2020 là bài toán vay vốn trả góp

Đặt $a = 0,9 \% = 0.009,M_{0} =5000000$

Tính tổng số tiền anh B vay từ tháng 9/2016 đến hết 30/8/2016 (sau 24 tháng)

+ Số tiền anh B vay sau tháng thứ nhất, thứ hai, …., tháng thứ 24 là:

$\begin{align} & {{M}_{1}}={{M}_{0}}\left( 1+a \right) \\ & {{M}_{2}}=\left( {{M}_{1}}+{{M}_{0}} \right)\left( 1+a \right)={{M}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{2}}+{{M}_{0}}\left( 1+a \right) \\ & {{M}_{3}}=\left( {{M}_{2}}+{{M}_{0}} \right)\left( 1+a \right)={{M}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{3}}+{{M}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{2}}+{{M}_{0}}\left( 1+a \right) \\ & ... \\ & {{M}_{24}}={{M}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{24}}+{{M}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{23}}+....+{{M}_{0}}\left( 1+a \right) \\ \end{align}$

(đồng) = T

Số tiền anh B còn nợ sau mỗi tháng, tính từ 9/2016 đến 30/06/2020 (22 tháng). Đặt

+ Số tiền anh còn nợ sau tháng thứ nhất, thứ hai, …., tháng thứ 22 lần lượt là:

$\begin{align} & {{T}_{1}}=\left( T-{{T}_{0}} \right)\left( 1+a \right)=T\left( 1+a \right)-{{T}_{0}}\left( 1+a \right) \\ & {{T}_{2}}=\left( {{T}_{1}}-{{T}_{0}} \right)\left( 1+a \right)=T{{\left( 1+a \right)}^{2}}-{{T}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{2}}-{{T}_{0}}\left( 1+a \right) \\ & {{T}_{3}}=\left( {{T}_{2}}-{{T}_{0}} \right)\left( 1+a \right)=T{{\left( 1+a \right)}^{3}}-{{T}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{3}}-{{T}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{2}}-{{T}_{0}}\left( 1+a \right) \\ & .... \\ & {{T}_{22}}=\left( {{T}_{21}}-{{T}_{0}} \right)\left( 1+a \right)=T{{\left( 1+a \right)}^{22}}-{{T}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{22}}-{{T}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{21}}-...-{{T}_{0}}\left( 1+a \right) \\ \end{align}$

$\Rightarrow {{T}_{22}}=T{{\left( 1+a \right)}^{22}}-{{T}_{0}}\left( 1+a \right).\frac{{{\left( 1+a \right)}^{22}}-1}{a}\approx 87.577.000$ (đồng)

Chọn đáp án B

Bài toán 2: Một người vay ngân hàng 270.000.000 đồng theo hình thức trả góp trong 3 năm, mỗi tháng người đó phải trả số tiền gốc như nhau và tiền lãi. Giả sử lãi suất không thay đổi trong toàn bộ quá trình trả nợ là 0,7%/tháng. Tổng số tiền mà người đó phải trả cho ngân hàng trong toàn bộ quá trình trả nợ là:

A. 304.965.000 đồng	B. 305.144.000 đồng
C. 340.235.000 đồng	D. 312.781.000 đồng

Hướng dẫn giải

- Mỗi tháng người đó phải trả số tiền gốc là như nhau: (đồng)

- Tháng đầu tiên người đó phải trả số tiền lãi là:

$270.000.000\text{ }\times \text{ }0.7\%\text{ }=\text{ 36}\times \text{7}\text{.500}\text{.000}\times \text{0}\text{.7 }\!\!\%\!\!\text{ }$

- Tháng thứ hai người đó phải trả số tiền lãi là:

$262.500.000\text{ }\times \text{ }0.7\%\text{ }=\text{ 35}\times \text{7}\text{.500}\text{.000}\times \text{0}\text{.7 }\!\!\%\!\!\text{ }$

- Tháng cuối cùng người đó phải trả số tiền lãi là:

$\text{7}\text{.500}\text{.000}\times \text{0}\text{.7 }\!\!\%\!\!\text{ =1}\times \text{7}\text{.500}\text{.000}\times \text{0}\text{.7 }\!\!\%\!\!\text{ }$

Vậy tổng số tiền lãi người đó phải trả là:

(đồng)

Vậy tổng số tiền người đó phải trả cho ngân hàng trong toàn bộ quá trình tra nợ là:

(đồng)

Chọn đáp án B

Bài toán 3: Chị X vay ngân hàng 100 triệu đồng vưới lãi suất 1%/ tháng. Chị muốn trả nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, chị bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và chị X trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ ngày vay. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính tiền lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi tháng chị X trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 2.500.000 đồng	B. 2.320.000 đồng
C. 2.220.000 đồng	D. 3.100.000 đồng

Hướng dẫn giải

- Gọi V là số tiền vay ban đầu, ta có: V = 100.000.000 đồng

- Gọi a là số tiền lãi suất trên một tháng, ta có: a = 1% = 0.01

- Gọi T là số tiền chị X phải trả hàng tháng

- Cuối tháng 1, chị X còn nợ số tiền là:

- Cuối tháng 2, chị X còn nợ số tiền là:

${{V}_{2}}={{V}_{1}}\left( 1+a \right)-T=\left[ V\left( 1+a \right)-T \right]\left( 1+a \right)-T=V{{\left( 1+a \right)}^{2}}-T\left( 1+a \right)-T$

- Cuối tháng 3, chị X còn nợ số tiền là:

${{V}_{3}}={{V}_{2}}\left( 1+a \right)-T=\left[ V{{\left( 1+a \right)}^{2}}-T\left( 1+a \right)-T \right]\left( 1+a \right)-T$

$=V{{\left( 1+a \right)}^{3}}-T{{\left( 1+a \right)}^{2}}-T\left( 1+a \right)-T$

…..

Vậy cho tới cuối tháng n, quy nạp toán học ta có:

- Cuối tháng n chị X còn nợ số tiền là:

$\begin{align} & {{V}_{n}}={{V}_{n-1}}\left( 1+a \right)-T=V{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-1}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}-...-T \\ & =V{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\left[ 1+...+{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}+{{\left( 1+a \right)}^{n-1}} \right] \\ \end{align}$

Dễ thấy:

$1+...+{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}+{{\left( 1+a \right)}^{n-1}}={{u}_{1}}.\left( \frac{{{q}^{n}}-1}{q-1} \right)=\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{\left( 1+a \right)-1}=\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a}$

Do đó: ${{V}_{n}}=V{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\left[ \frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a} \right]$

Để trả hết nợ thì ${{V}_{n}}=0\Leftrightarrow V{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\left[ \frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a} \right]=0\Leftrightarrow T=\frac{V.a.{{\left( 1+a \right)}^{n}}}{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}$

Vì sau đúng 5 năm chị X tra hết nợ nên n = 60. Thay V = 100.000.000, a = 0.01, n = 60 ta được:

(đồng)

Chọn đáp án C

Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao nhiêu quý thì người đó có được ít nhất 20 triệu?

A. 15 quý	B. 16 quý
C. 17 quý	D. 18 quý

Bài 2: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi đơn, kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 3% một quý. Hỏi người đó phải gửi ngân hàng ít nhất bao lâu, số tiền thi về gấp hai lần số tiền vốn ban đầu?

A. 102 tháng	B. 103 tháng
C. 100 tháng	D. 101 tháng

----------------------------------------------------

Trên đây GiaiToan đã giới thiệu đến thầy cô và học sinh tài liệu Công thức tính bài toán lãi suất, hy vọng tài liệu sẽ là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả.

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: