Giaitoan.com Toán 12

Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng Xét tính đơn điệu của hàm số

Nội dung
  • 4 Đánh giá

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, GiaiToan.com xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Tìm tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b). Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc các phương pháp giải bài tập ứng dụng tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến với điều kiện cho trước cùng hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Tìm m để hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) nghịch biến trên khoảng (a, b)

Phương pháp:

- Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c là tam thức bậc hai chứa tham số m

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (a, b) khi và chỉ khi y’ = f(x, m) ≥ 0 ∀x ∈ (a,b)

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (a, b) khi và chỉ khi y’ = f(x, m) ≤ 0 ∀x ∈ (a,b)

Cách 1: f(x,m) bậc nhất đối với m, hoặc f(x,m) không có nghiệm chẵn

+ Biến đổi bất phương trình f(x, m) ≥ 0 ∀x ∈ (a,b) ⇔g(x) ≥ h(m) ∀x ∈ (a,b)

+ Tìm GTLN, GTNN của y = g(x) trên [a,b]

Cách 2: Tham số m trong f(x,m) có chứa bậc 1, bậc 2 hoặc f(x,m) có nghiệm chẵn

+ Tìm tập nghiệm của tam thức bậc hai, lập bảng xét dấu

+ Gọi S là tập hợp có dấu “thuận lợi”. Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi (a,b) ⊂ S.

Tìm m để hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) nghịch biến trên khoảng (a, b)

Phương pháp:

+ Tính y’ = 4ax3 + 2bx => y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {{x^2} = - \dfrac{b}{{2a}}} \end{array}} \right.

+ Lập bảng xét dấu y’, giả sử có S là tập “thuận lợi”

+ Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi (a,b) ⊂ S

Tìm m để hàm phân thức y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}};\left( {ad - bc \ne 0} \right) nghịch biến trên khoảng (a,b)

Phương pháp:

+ Hàm số y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} đồng biến trên khoảng (a,b) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad - bc > 0} \\ { - \dfrac{d}{c} \notin \left( {a;b} \right)} \end{array}} \right.

+ Hàm số y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} nghịch biến trên khoảng (a,b) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad - bc < 0} \\ { - \dfrac{d}{c} \notin \left( {a;b} \right)} \end{array}} \right.

Bài tập tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = \frac{{x + 6}}{{x + 5m}} nghịch biến trên khoảng (10; +∞)

A. 3

B. 8

C. 4

D. 5

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5m} \right\}

Ta có: y' = \frac{{5m - 6}}{{{{\left( {x + 5m} \right)}^2}}}

Hàm số nghịch biến trên khoảng (10; +∞) khi và chỉ khi

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y' < 0,\forall x \in D} \\ { - 5m \in \left( {10, + \infty } \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5m - 6 < 0} \\ { - 5m \leqslant 10} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < \dfrac{6}{5}} \\ {m \geqslant - 2} \end{array}} \right.Mà m là giá trị nguyên => m ∈ {-2; -1; 0; 1}

Vậy có 4 giá trị của tham số m thỏa mãn

Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 6x2+ (4m – 9)x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) là:

A. (-∞; 0]

B. \left[ { - \frac{3}{4}; + \infty } \right)

C. \left( { - \infty ; - \frac{3}{4}} \right]

D. [0; -∞)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = \mathbb{R}

Ta có: y’ = -3x2 – 12x + 4m + 9

Hàm số y = x3 – 6x2+ (4m – 9)x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) khi và chỉ khi

y’ = -3x2 – 12x + 4m + 9 ≤ 0, ∀x ∈ (-∞; -1)

=> 4m ≤ 3x2 + 12x + 9, ∀x ∈ (-∞; -1)

Xét hàm số g(x) = 3x2 + 12x + 9, x ∈ (-∞; -1) ta có:

g’(x) = 6x + 12

g’(x) = 0 => x = -2

Ta có bảng biến thiên:

Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

Từ bảng biến thiên suy ra 4m ≤ -3 => m ≤ -3/4

Chọn đáp án C

Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = \frac{{x + 1}}{{x + 3m}} nghịch biến trên khoảng (6; +∞)

A. 3

B. Vô số

C. 0

D. 6

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3m} \right\}

Ta có: y' = \frac{{3m - 1}}{{{{\left( {x + 3m} \right)}^2}}}

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (6; +∞) ta có:

y’ < 0 ∀x ∈ (-∞; -6)

\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y' < 0} \\ {\left( {6; + \infty } \right) \subset D} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3m - 1 < 0} \\ { - 3m \leqslant - 6} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < \frac{1}{3}} \\ {m \geqslant - 2} \end{array} \Leftrightarrow } \right. - 2 \leqslant m \leqslant \frac{1}{3}

Vì m là số nguyên

=> m∈{-2; -1; 0}

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn điều kiện đề bài

Chọn đáp án A

---------------------------------------------------------------

Trên đây GiaiToan đã giới thiệu đến thầy cô và học sinh tài liệu Tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng (a;b) hy vọng tài liệu sẽ là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả.

Chia sẻ bởi: Bọ Cạp
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 814
Tìm thêm: Toán 12 ôn thi thpt quốc gia 2022
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Tài liệu tham khảo khác

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần