Giaitoan.com Toán 12 Chuyên đề Toán 12

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng Xét tính đơn điệu của hàm số

Nội dung
  • 4 Đánh giá

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, GiaiToan.com xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (a; b). Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc các phương pháp giải bài tập ứng dụng tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến với điều kiện cho trước cùng hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

A. Tìm m để hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đồng biến trên khoảng (a, b)

Phương pháp:

- Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c là tam thức bậc hai chứa tham số m

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (a, b) khi và chỉ khi y’ = f(x, m) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b)

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (a, b) khi và chỉ khi y’ = f(x, m) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b)

Cách 1: f(x, m) bậc nhất đối với m, hoặc f(x, m) không có nghiệm chẵn

+ Biến đổi bất phương trình f(x, m) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b) ⇔ g(x) ≥ h(m) ∀x ∈ (a, b)

+ Tìm GTLN, GTNN của y = g(x) trên [a, b]

Cách 2: Tham số m trong f(x,m) có chứa bậc 1, bậc 2 hoặc f(x, m) có nghiệm chẵn

+ Tìm tập nghiệm của tam thức bậc hai, lập bảng xét dấu

+ Gọi S là tập hợp có dấu “thuận lợi”. Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi (a, b) ⊂ S.

B. Tìm m để hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) đồng biến trên khoảng (a, b)

Phương pháp:

+ Tính y’ = 4ax3 + 2bx => y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {{x^2} = - \dfrac{b}{{2a}}} \end{array}} \right.

+ Lập bảng xét dấu y’, giả sử có S là tập “thuận lợi”

+ Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi (a, b) ⊂ S

C. Tìm m để hàm phân thức y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}};\left( {ad - bc \ne 0} \right) đồng biến trên khoảng (a,b)

Phương pháp:

+ Hàm số y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} đồng biến trên khoảng (a, b) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad - bc > 0} \\ { - \dfrac{d}{c} \notin \left( {a;b} \right)} \end{array}} \right.

+ Hàm số y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} nghịch biến trên khoảng (a, b) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad - bc < 0} \\ { - \dfrac{d}{c} \notin \left( {a;b} \right)} \end{array}} \right.

D. Bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = {x^3} + mx - \frac{1}{{5{x^5}}} đồng biến trên khoảng (0; +∞)

A. 5

B. 3

C. 0

D. 4

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = 3{x^2} + m + \frac{1}{{{x^6}}}

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) khi và chỉ khi

\begin{matrix} y' = 3{x^2} + m + \dfrac{1}{{{x^6}}} \geqslant 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow 3{x^2} + \dfrac{1}{{{x^6}}} \leqslant m,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \hfill \\ \end{matrix}

Xét hàm số g\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{1}{{{x^6}}},\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)

\begin{matrix} g'\left( x \right) = - 6x + \dfrac{6}{{{x^7}}} = \dfrac{{ - 6\left( {{x^8} - 1} \right)}}{{{x^7}}} \hfill \\ g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = - 1\left( {ktm} \right)} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Ta có bảng biến thiên:

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≥ -4

Suy ra các giá trị nguyên âm của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài là -4, -3; -2; -1

Vậy có 4 giá trị của tham số m thỏa mãn

Chọn đáp án D

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 3x2+ (1 – m)x đồng biến trên khoảng (2, +∞) là:

A. (-∞; 2)

B. (-∞; 1)

C. (-∞; -2]

D. (-∞; 1]

Hướng dẫn giải

Ta có: y’ = 3x2 – 6x + 1 - m

Hàm số y = x3 – 3x2+ (1 – m)x đồng biến trên khoảng (2, +∞) nên y’ ≥ 0 với ∀x ∈ (2, +∞)

Suy ra: 3x2 – 6x + 1 ≥ m, ∀x ∈ (2, +∞)

=> \mathop {Min\left( {3{x^2} - 6x + 1} \right)}\limits_{x \in \left( {2; + \infty } \right)} \geqslant m \Leftrightarrow 1 \geqslant m

Vậy m ∈ (-∞; 1] thỏa mãn điều kiện đề bài

Chọn đáp án D

Ví dụ 3: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{{x + 3}}{{x + m}} đồng biến trên khoảng (-∞; -6)

A. (3; 6]

B. (3; 6)

C. (3; +∞)

D. [3; 6)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}

Ta có: y' = \frac{{m - 3}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}

Để hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -6) ta có:

y’ > 0 ∀x ∈ (-∞; -6)

\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 3 > 0} \\ { - m \notin \left( { - \infty ; - 6} \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 3} \\ { - m \geqslant - 6} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 3} \\ {m \leqslant 6} \end{array} \Leftrightarrow } \right.3 < m \leqslant 6

Vậy m ∈ (3; 6] thỏa mãn điều kiện đề bài

Chọn đáp án A

Ví dụ 4: Cho hàm số y = f\left( x \right) = \frac{{mx - 4}}{{x - m}} (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +∞)?

Hướng dẫn giải

Tập điều kiện: x ≠ m

Ta có: y' = \frac{{ - {m^2} + 4}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}

Để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) thì

\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y' > 0} \\ {m \notin \left( {0; + \in } \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {m^2} + 4 > 0} \\ {m \leqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 < m < 2} \\ {m \leqslant 0} \end{array} \Leftrightarrow - 2 < m \leqslant 0} \right.

Do m là số nguyên nên m = -1 hoặc m = 0

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện đề bài

Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = \frac{{\tan x - 2}}{{\tan x - m}} đồng biến trên khoảng \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)

A. \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {1 \leqslant m \leqslant 2} \end{array}} \right.

B. m \leqslant 0

C. 1 \leqslant m < 2

D. m \geqslant 2

Hướng dẫn giải

Đặt tanx = t. Với x = 0 => t = 0 với x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1

Bài toán trở thành tìm m để hàm số y = \frac{{t - 2}}{{t - m}} đồng biến trên (0; 1)

Hàm số phân thức hữu tỉ đồng biến

y' > 0 \Leftrightarrow \frac{{2 - m}}{{{{\left( {1 - m} \right)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow m > 2

Ngoài ra hàm phân thức có điều kiện tồn tại x \ne m

=> m không thuộc khoảng chứa x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {m \geqslant 1} \end{array}} \right.

Kết hợp 2 điều kiện trên ta được \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {1 \leqslant m \leqslant 2} \end{array}} \right.

Chọn đáp án A

Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y = \frac{{{m^2}x + 6x - 2}}{{x + 2}} nghịch biến trên nửa khoảng \left[ {1; + \infty } \right)

Hướng dẫn giải

Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng \left[ {1; + \infty } \right)

\begin{matrix} \Leftrightarrow y' = \dfrac{{m{x^2} + 4mx + 14}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \leqslant 0,\forall x \geqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow m{x^2} + 4mx + 14 \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 4x} \right) \leqslant - 14,\forall x \geqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow u\left( x \right) = \frac{{ - 14}}{{{x^2} + 4x}} \geqslant m,\forall x \geqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {Minu\left( x \right)}\limits_{x \geqslant 1} \geqslant m \hfill \\ \end{matrix}

Ta có

u'\left( x \right) = \frac{{14\left( {2x + 4} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 4x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \geqslant 1

=> u(x) đồng biến trên nửa khoảng \left[ {1; + \infty } \right)

\Rightarrow \mathop {\min u\left( x \right)}\limits_{x \geqslant 1} = u\left( 1 \right) = \frac{{ - 14}}{5} \geqslant m

Ví dụ 7: Tìm giá trị của tham số a để hàm số y = - \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x - 4 đồng biến trên khoảng (0; 3).

Hướng dẫn giải

Ta có:

y' = - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + \left( {m + 3} \right) \geqslant 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)

Do y’(x) liên tục tại x = 0 và x = 3

\begin{matrix} \Rightarrow y'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in \left( {0;3} \right) \hfill \\ \Rightarrow y'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in \left[ {0;3} \right] \hfill \\ \Leftrightarrow m.\left( {2x + 1} \right) \geqslant {x^2} + 2x - 3,\forall x \in \left[ {0;3} \right] \hfill \\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2x + 1}} \leqslant m,\forall x \in \left[ {0;3} \right] \hfill \\ \Leftrightarrow \mathop {\max g\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} \leqslant m \hfill \\ \end{matrix}

Ta có: g'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 2x + 8}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0;3} \right]

=> g(x) đồng biến trên đoạn [0; 3]

---------------------------------------------------------------

Trên đây GiaiToan đã giới thiệu đến thầy cô và học sinh tài liệu Tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng (a;b) hy vọng tài liệu sẽ là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả.

Chia sẻ bởi: Đội Trưởng Mỹ
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 20.376
Tìm thêm: Toán 12 ôn thi thpt quốc gia 2022
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Tài liệu tham khảo khác

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần