b) Hình vẽ minh họa

Xét tam giác BCH vuông tại H ta có:

BH² + CH² = BC²

=> BH² = BC² – CH²

=> BH² = 13² – 12² = 25

=>BH = 5

BC² = HC.AC

=> AC = 169/12

AB² = AC² – BC² => AB = 65/12

SinA = BC/AC = 12/13

cosA= AB/AC = 5/13

TanA = sinA/cosA = 12/5

cotA = 1/tanA = 5/12

Ta có góc A và góc C là hai góc phụ nhau

=> SinA = cosC = 12/13

cosA = sinC= 5/13

TanA = cot C= 12/5

cotA = tanC= 5/12

Sử dụng sơ đồ Ven để giải bài toán;

Số hộ gia đình sử dụng nước rửa tay là: 200 – 80 = 120 hộ

Số hộ gia đình sử dụng nước rửa tay hiệu B (bao gồm cả hộ gia đình sử dụng cả hai hiệu nước rửa tay) là: 120 - 60 = 60 hộ

Gọi x là số hộ gia đình sử dụng cả hai hiệu nước rửa tay -> 3x là số hộ gia đình chỉ sử dụng nước rửa tay hiệu B

Ta có x + 3x = 60 => x = 15

Vậy có 15 hộ gia đình sử dụng cả hai hiệu nước rửa tay.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có:

Tọa độ của P là nghiệm của hệ phương trình

Gọi M là trung điểm của AD thì M là giao của d với Ox => M (0; 3)

Ta có PM //AB và DC

A, D nằm trên đường thẳng ∆ vuông góc với d’=>

Giả sử A(3 + t, t), do D đối xứng với A qua M nên D(3 – t, t)

C đối xứng với A qua P nên C(6 – t, 3 + t)

B đối xứng với D qua P nên B(12 + t, 3 + t)

Gọi N là trung điểm của BC, thì N đối xứng với M qua P nên N(6, 3)

=> MN = AB = AD =

Khoảng cách từ A đến đường thẳng d bằng

S_ABCD = 12=> t = -1 hoặc t = 1

Thay giá trị t vào tọa độ các điểm ở trên ta có:

Với t = -1 => A(2, 1); B(11, 4); C(7, 2); D(4; -1)

Với t = 1 => A(4, -1); B(13, 2); C(5, 4); D(2, 1)

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của AC. Ta có;

Gọi B’ đối xứng với B qua d => B’ ∈ AC

BB’ ⊥ d và BB’ qua B => BB’: 2x – y + 25 = 0

Gọi N là giao điểm của BB’ và d. Suy ra: N(-9, 7) => B’(-6; 13)

Đường thẳng AC qua B’ và M nên ta có phương trình: AC: x + y – 7 = 0

AC ⋂ d = A => A (9; -2)

M là trung điểm của BC => C(4, 3)

Ta viết được phương trình: BC: x – 8y + 20 = 0

Phương trình (1)

Đặt

Phương trình đã cho trở thành:

(2)

Ta có

Với m = 0 thì , phương trình (2) có nghiệm kép

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và

Với m ≠ 0, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Vi-ét:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu (1 nghiệm âm, 1 nghiệm dương)

Để phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu thì

Vậy với m = 0 hoặc m < -1/2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Gọi d ∩ Oy = {F}. Điểm F có tọa độ F(a; 0) (a khác 0)

d ∩ Oy = {E}. Điểm E có tọa độ E(0; b) (b khác 0)

Có

Theo đề bài, đường thằng (d) vuông góc với AB

(1)

Diện tích tam giác OEF là:

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Với a = 15, b = -3, phương trình đường thẳng d đi qua E(0; -3) và nhận làm VTPT là:

(d1): x – 5(y + 3) = 0 ⇔ x – 5y – 15 = 0

Với a = -15, b = 3, phương trình đường thẳng d đi qua E(0; -3) và nhận làm VTPT là:

(d2): x – 5(y – 3) = 0 ⇔ x – 5y + 15 = 0

Hướng dẫn giải

Đặt (m – 1)x² + (m – 3)x + 4 = f(x)

Trường hợp 1: m – 1 = 0 => m = 1

Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 <=> x < 2 (Loại)

Trường hợp 2: m – 1 ≠ 0 => m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R

Vậy thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

Cách xác định m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi m

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)

f(x) > 0 vô nghiệm <=> f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R. Nghĩa là

f(x) < 0 vô nghiệm <=> f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R. Nghĩa là

f(x) ≥ 0 vô nghiệm <=> f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R. Nghĩa là

f(x) ≤ 0 vô nghiệm <=> f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R. Nghĩa là

Hướng dẫn giải

Đặt (m – 1)x² + 2mx – 3 = f(x)

Trường hợp 1: m – 1 = 0 <=> m = 1.

Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x – 3 > 0 => x > 3/2 (Loại)

Trường hợp 2: m – 1 ≠ 0 => m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R

=> m ∈ {∅}

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

Cách xác định m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi m

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)

f(x) > 0 vô nghiệm <=> f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R. Nghĩa là

f(x) < 0 vô nghiệm <=> f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R. Nghĩa là

f(x) ≥ 0 vô nghiệm <=> f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R. Nghĩa là

f(x) ≤ 0 vô nghiệm <=> f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R. Nghĩa là

Công thức nghiệm phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

∆ = b² – 4ac

Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép

Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Phương trình đường tròn tâm M(a; b) bán kính R là:

(x – a)² + (y – b)² = R²

Phương trình đường tròn tổng quát là:

x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 (với a² + b² + c² ≥ 0)