Cách 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi chiều rộng của mảnh đất ban đầu là x (m) với x > 1

Chiều dài ban đầu của mảnh đất: x + 3 (m)

Diện tích ban đầu của mảnh đất: x(x + 3)

Chiều dài mảnh đất lúc sau: x + 3 + 2 = x + 5(m)

Chiều rộng mảnh đất lúc sau: x – 1 (m)

Diện tích mảnh đất lúc sau: (x − 1)(x + 5)

Do diện tích mảnh đất ko đổi nên ta có phương trình:

x(x + 3) = (x − 1)(x + 5)

=> x² + 3x = x² + 4x − 5

=> x = 5(m)

Vậy mảnh đất ban đầu rộng 5m, dài 8m

Lời giải chi tiết

Đồ thị đi qua điểm A(-2; -1)

Thay tọa độ x = -2, y = 1 vào hàm số ta được:

a . (-2)² = 1

=> 4a = 1

=> a = 1/4

Vậy hàm số cần tìm là y = 1/4x²

Bảng tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số như sau:

Đồ thị hàm số y = 1/4x²

1) Điều kiện xác định

x thuộc tập số thực R

2) Điều kiện xác định

x thuộc tập số thực R

3) Điều kiện xác định x + 4 > 0 => x > -4

4) Điều kiện xác định:

X² – 9 ≥ 0 => x ≥ 3 hoặc x ≤ -3

Và x – 1 ≥ 0 => x ≥ 1

Căn (x² – 9) + căn (x – 1) luôn khác 0

=> Điều kiện xác định x ≥ 3

5) điều kiện xác định

x≥ -10/3 và x ≤ 2

=> -10/3 ≤ x ≤ 2

Cách 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m) (x > 0)

Chiều dài của mảnh đấy là y (m) (y > 0)

Diện tích của mảnh đất là 240m²

=> Ta có phương trình: x . y = 240 (1)

Khi tăng chiều rộng thêm 3m ta có chiều rộng mới là x + 3 (m)

Khi giảm chiều dài đi 4m ta có chiều dài mới là y – 4 (m)

Theo bài ra ta có:

Khi thay đổi chiều dài và chiều rộng như trên thì diện tích hình chữ nhật không thay đổi nên ta có phương trình

(x + 3) . (y - 4) = xy (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được kết quả: x = 12; y = 20 (thỏa mãn điều kiện bài toán)

Vậy chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là 12m.

Chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là 20m.

Hướng dẫn giải

1. a) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của O trên CD và EF

=> HC = HD; KE = KF

Xét tam giác OHM và OKN

2OM = OA = OB = ON

Góc MOH = góc NOK (đối đỉnh)

=> Tam giác OHM = tam giác OKN

=> OH = OK => CD = EF

Xét tứ giác CDEF có CD // EF, CD = EF

=> Tứ giác CDEF là hình bình hành

Ta lại có HK là đường trung bình

=> HK // CE => CD vuông góc với CE => CDEF là hình chữ nhật

Gọi x (km/h) là vận tốc của ca nô khi xuôi dòng.

Khi đó:

Vận tốc của ca nô khi nước lặng yên là: x - 6 (km/h)

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: x - 12 (km/h)

Ta thấy điều kiện của ẩn x > 12 (vì vận tốc của ca nô khi ngược dòng phải lớn hơn 0)

Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là 36/x(giờ)

Thời gian ca nô ngược dòng từ B về A là 36/x - 12 (giờ)

Tổng thời gian cả đi và về (từ 7 giờ sáng đến 11 giờ 30) là 4,5 giờ

Ta có phương trình:

36/x + 36/x – 12 = 9/2

<=> 4(x-12) + 4x / x(x - 12) = x(x-12) / 2x(x-12)

=> 8(x – 12 + x) = x(x - 12)

<=>x(x - 4) - 24(x - 4) = 0

<=> (x - 4)(x - 24)=0

Phương trình này có 2 nghiệm là 4 và 24, nhưng chỉ có giá trị x = 24 là thỏa mãn điều kiện của ẩn

Vậy vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là 24km/h

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC có

BE là đường cao của AC tại E => góc BEA = góc BEC =90

CF là đường cao của AB tại F => góc CFA = góc CFB =90

AD là đường cao của BC tại D => góc ADB = góc ADC

xét tứ giác BFEC có

góc BFC = góc BEC = 90

mà F và E là 2 đỉnh đối => Tứ giác nội tiếp (DHNB)

=> góc EFC = góc EBC (2 góc nội tiếp chắn EC)

=> góc FEH = góc HCB (2 góc nội tiếp chắn BF)

Xét (O) có

góc MNC = góc EBC (2 góc nội tiếp chắn MC)

=>góc EFC = góc MNC

mà 2 góc ở vị trí đồng vị => song song (tc)

b) Xét tứ giác BFHD có

góc BDA + góc CFB =180

mà F và D là 2 đỉnh kề

=> BFHD là tứ giác nội tiếp (DHNB)

=> góc CFD= góc EBC (góc nội tiếp chắn HD)

=> Góc EFC = góc CFD (= góc EBC)

=> FC là phân giác của góc DFE

=> FH là phân giác của góc DFE (H thuộc DC)

=Xét tứ giác CDHE có

góc ADC + góc CEB =180

mà D và E là 2 đỉnh kề

=> tứ giác CDHE nội tiếp

=> góc HCB = góc HED (2 góc nội tiếp chắn HD)

=> góc FEH = góc HEB (= góc HCD)

=> HE là phan giác góc FED

xét tma giác FED có

FH là phân giác góc EFD

EH lag phân giác góc FED

mà FH giao với EH tại H

=> H là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác EFD

=> H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EFD

c) gọi giao điểm của đường vuông góc kẻ từ A -> EF cắt EF tại K và cắt BE tại T và cắt (O) tại I

vì TK vuông góc với EF tại K

=> góc TKE = 90

Xét tam giác TKE và tam giác TEA có

Góc T chung

Góc TKE = góc TEA (=90)

=> Hai tam giác đồng dạng(g-g) => góc TEK = góc TAE

Xét tứ giác nội tiếp BFEC có

Góc TEK = góc FCB (2 góc nội tiếp chắn BF; T thuộc BE)

Xét (O) có

Góc TAE = góc CBI (2 góc nội tiếp chắn IC)

=> góc FCB = góc IBC

mà 2 góc ở vị trí so le trong => BI // CF (tc)

mà CF vuông góc với AB

=> IB vuông góc với AB

=> góc IBA=90 (tc)

xét (O)

=> Góc IBA=1/2 số đo cung AI (góc nội tiếp chắn AI)

=> Số đo cũng AI bằng 180

=> AI là đường kính của đường tròn tâm (O)

=> A, I, O thẳng hàng

Mà AI vuông góc với EF => đường vuông góc với EF sẽ luông đi qua điểm O

Mà O cố định => đường vuông góc với EF sẽ luông đi qua điểm O cố định

Gọi số sản phẩm tổ 1 làm được trong tháng thứ nhất là x (sản phẩm) (x ∈ N, 0 < x < 500)

Gọi số sản phẩm tổ 2 làm được trong tháng thứ nhất là y (sản phẩm) (y ∈ N, 0 < y < 500)

- Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 500 sản phẩm, nên ta có phương trình:

x + y = 500 (1)

- Sang tháng thứ hai tổ 1 vượt mức 10% nên làm được x + 10%x = 1,1x (sản phẩm), tổ 2 vượt mức
15% nên làm được y + 15%y = 1,15y (sản phẩm).

- Vì tháng thứ hai cả hai tổ đã làm được 564 sản phẩm nên ta có PT:

1,1x + 1,15y = 564 hay 22x + 23y = 11 280 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

(tmđk)

Vậy số sản phẩm tổ 1 và tổ 2 làm được trong tháng thứ nhất lần lượt là 220 và 280 sản phẩm.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình.

Bước 3: Kiểm tra nghiệm với điều kiện thỏa mãn đề bài.

Bước 4: Kết luận.

a) - Ta có góc BEC = 90⁰ (góc nt chắn nửa đường tròn)

- Vì AD là đường cao nên góc ADC = 90⁰.

- Suy ra CDHE là tứ giác nội tiếp

b) - Hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H là trực tâm tam giác nên CH ⊥ AB tại F

- Vì góc BFC = 90⁰ nên F ∊ (O)

- Tứ giác BDHF là tgnt => góc FDH= góc FBH.

- Tương tự, CDHE là tgnt => góc EDH= góc ECH .

- Lại có góc FBH= góc ECH nên góc FDH= góc EDH

Suy ra DA là phân giác của góc EDF.

c) Gọi giao điểm thứ hai của AH với (O) là Q

Ta có tg AMP ∽ tg AQM (g.g) => AM² = AP . AQ

Áp dụng ht lượng trong tam giác vuông AMO, ta có: AM² = AK . AO

=> AP . AQ = AK . AO

=> tg APK ∽ tg AOQ (c.g.g)

=> góc APK = góc AOQ

=> OKPQ là tứ giác nội tiếp

Mà I là tâm đường tròn ngoại tiếp tg OPK

Suy ra I nằm trên đường trung trực của PQ

=> đpcm

Phương pháp giải phương trình trùng phương

Bước 1: Đặt t = x² với điều kiện t ≥ 0

Bước 2: Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng: at² + bt + c = 0 (2)

Bước 3:

a) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất <=> phương trình (2) có nghiệm t₁ ≤ 0 = t₂

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt <=> phương trình (2) có nghiệm t₁ < 0 < t₂

c) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt <=> phương trình (2) có nghiệm 0 = t₁ < t₂

d) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt <=> phương trình (2) có nghiệm 0 < t₁ < t₂

Hướng dẫn giải

- Diện tích xung quanh hình trụ là S_xq = 2πrh

Diện tích trục lăn tạo với sân phẳng sau khi lăn 1 vòng = S_xq

=> Diện tích trục lăn tạo với sân phẳng sau khi lăn 10 vòng = S_xq . 10