Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa bài toán

c) Hai tam giác MEN và MBN’ có:

MN = MN’

Góc NME = Góc N’MB (đối đỉnh)

NE = MB

=> Tam giác MEN = Tam giác MBN’

=> Góc ENM = Góc MN’B

=> N’B // EN (Hai góc so le trong bằng nhau)

Mà EN vuông góc với BD nên BN’ vuông góc với BD

Dễ dàng chứng minh được Góc ENB = Góc N’BN (c – g – c)

=> BE = NN’ = 2MN

a) Ta có: Tam giác ADE cân và có góc A = 60⁰

=> Tam giác ADE là tam giác đều

Góc ADE = Góc ABC = 60⁰

=> DE // BC (hai góc so le trong bằng nhau)

Ta lại có: BD = AD + AB = AE + AC = EC

Do đó BCDE là hình thang cân.

d) Xét tam giác ACD có NP la đường trung bình

=> NP = DC/2

Mà DC = EB (vì BCDE là hình thang cân)

=> NP = EB/2 = MN (*)

Theo chứng minh trên ta có: NM = MA = MN’ = ME nên các tam giác MBN và MEN’ cân tại M

=> Góc BNN’ = Góc BEN’ = Góc NBE => EN’ //AB

Ta có: Góc ANP = Góc ADC = Góc AEB và Góc ANM = Góc BEN’

=> Góc PNM = Góc ANP + Góc ANM = Góc AEB + Góc BEN’ = Góc AEN’

Vì EN’ // AB => Góc AEN’ = Góc CAB = 60⁰ (đồng vị)

Từ đó ta có: Góc PNM = 60⁰ (**)

Từ (*) và (**) suy ra tam giác MNP là tam giác đều.

b) Tam giác đều ADE có EN là trung tuyến

=> EN vuông góc với DA hay EN vuông góc với BD.

CQ là trung tuyến tam giác đều ABC

=> CQ vuông góc với AB hay EQ vuông góc với BD

=> EN // CQ (cùng vuông góc với BD)

=> CNEQ là hình thang