Tìm m để bất phương trình có nghiệm Cách giải bất phương trình

4 Đánh giá

Chuyên đề Toán 10: Bất phương trình

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về phần Giải bất phương trình lớp 10 phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm phần Đại số Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập tài liệu. Chúc các bạn ôn thi tốt.

Bất phương trình có nghiệm khi nào?

Bài 1: Tìm m để bất phương trình ${m^2}x + 3 < mx + 4$ có nghiệm

Hướng dẫn giải

Bất phương trình tương đương với:

${m^2}x - mx < 4 - 3 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - m} \right)x < 1$

Với ${m^2} - m = 0 \Leftrightarrow m = \{ 0;1\}$ thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với ${m^2} - m = 0 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \{ 0;1\}$ thì bất phương trình trở thành $x < \frac{1}{{{m^2} - m}}$ luôn có nghiệm là $x < \frac{1}{{{m^2} - m}}$

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m

Bài 2: Tìm tham số m để bất phương trình

$f(x) = ({m^2} + 1){x^2} + (2m - 1) - 5 < 0$

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Hướng dẫn giải

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(1) \leqslant 0} \\ {f( - 1) \leqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 2m - 3 \leqslant 0} \\ {{m^2} + 2m - 5 \leqslant 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \leqslant m \leqslant 3} \\ { - \sqrt 6 \leqslant m \leqslant \sqrt 6 - 1} \end{array}} \right.} \right.$

Bài 3: Tìm m để bất phương trình ${x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} + 2m \leqslant 0$ có nghiệm với mọi $x \in {\text{[}}0;1]$

Hướng dẫn giải

Đặt $f(x) = {x^2} - 2(m + 1) + {m^2} + 2m$

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với $\forall x \in [0;1]$

<=> Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn ${x_1} \leqslant 1 < 2 \leqslant {x_2}$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {kf(0) \leqslant 0} \\ {kf(1) \leqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 2m \leqslant 0} \\ {{m^2} - 1 \leqslant 0} \end{array} \Leftrightarrow - 1 \leqslant m \leqslant 0} \right.$

Vậy với $- 1 \leqslant m \leqslant 0$ thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 4: Tìm m để bất phương trình $(m + 4){x^2} - 2mx + 2m - 6 < 0$ có nghiệm đúng với mọi x

Hướng dẫn giải

Với m = -4 thì bất phương trình trở thành: $8x - 14 < 0,\forall x$ (loại)

Với $m \ne - 4$ thì $f(x) < 0,\forall x$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta ' < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < - 4} \\ {{m^2} - (m + 4)(2m - 6) < 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < - 4} \\ {m \in ( - \infty , - 4) \cup (6, + \infty )} \end{array} \Leftrightarrow m < - 4} \right.} \right.$

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4

Bài 5: Tìm m để bất phương trình $(m + 2){x^2} - 2mx + {m^2} + 2m \leqslant 0$ có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

TH1: Với $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ ta được:

(1) $\Leftrightarrow 4x + 4 < 0 \Leftrightarrow x < - 1$

Bất phương trình vô nghiệm

TH2: Với $m < - 2$

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

TH3: $m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2$ . Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt:

$\Leftrightarrow \Delta > \Leftrightarrow {m^2} - 2 > \Leftrightarrow \left| m \right| > \sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > \sqrt 2 } \\ { - 2 < m < - \sqrt 2 } \end{array}} \right.$