Rút gọn biểu thức lớp 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

43 Đánh giá

Rút gọn biểu thức là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, dạng bài này sẽ xuất hiện trong bài 1 thuộc đề thi. Tài liệu được biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Các công thức biến đổi căn thức

1. $\sqrt A$ có nghĩa khi A ≥ 0

2. $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

3. $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B$ (với điều kiện A ≥ 0; B ≥ 0)

4. $\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ (với điều kiện A ≥ 0; B > 0)

5. $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B$ (với điều kiện B ≥ 0)

6. $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B}$ (với điều kiện A ≥ 0; B ≥ 0)

7. $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B}$ (với điều kiện A < 0; B ≥ 0)

8. $\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{1}{{\left| B \right|}}\sqrt {AB}$ (với điều kiện A ≥ 0; B > 0)

9. $\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}$ (với điều kiện B > 0)

10. $\frac{C}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A \mp B } \right)}}{{A - B^2}}$ (với điều kiện A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B²)

11. $\frac{C}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A \mp \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$ (với điều kiện A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B)

12. $\left(\sqrt[3]{A}\right)^3=\sqrt[3]{A^3}=A$

+ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của một phân thức.

+ Các tính chất cơ bản của một phân thức. Sử dụng các tính chất này ta có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử (hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu phân thức,... đưa phân thức về dạng rút gọn.

B. Xác định nhanh điều kiện của biểu thức

Biểu thức	ĐKXĐ	Ví dụ
1. $\sqrt{A}$	A ≥ 0	$\sqrt{x-2018}$ . ĐKXĐ: x ≥ 2018
2. $\frac{A}{B}$	B ≠ 0	$\frac{x+2}{x-3}$ . ĐKXĐ: x ≠ 3
3. $\frac{A}{\sqrt{B}}$	B > 0	$\frac{x+2}{\sqrt{x-3}}$ . ĐKXĐ: x > 3
4. $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$	A ≥ 0; B > 0
5. $\sqrt{\frac{A}{B}}$	$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} A \le 0\\ B < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B > 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$	$\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}$ . ĐKXĐ: $\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x + 1 \le 0\\ x + 2 < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x + 1 \ge 0\\ x + 2 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 2\\ x \ge 1 \end{array} \right.$
6. Cho a > 0 ta có: ${x^2} > a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > \sqrt a \\ x < - \sqrt a \end{array} \right.$		${x^2} > a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > \sqrt a \\ x < - \sqrt a \end{array} \right.$
7. Cho a > 0 ta có: ${x^2} < a \Leftrightarrow - \sqrt a < x < \sqrt a$		${x^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < x < 2$

2. Các bước rút gọn một biểu thức

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

+ Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử

+ Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu

+ Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn

B. Ví dụ minh họa rút gọn và tính giá trị của biểu thức

Bài 1: Tìm điều kiện để các biểu thức dưới đây có nghĩa:

a) $\sqrt { - 5x - 10}$

b) $\sqrt {\frac{{x + 3}}{{4 - x}}}$

Lời giải chi tiết:

a) Để $\sqrt { - 5x - 10}$ có nghĩa $\Leftrightarrow - 5x - 10 \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 2$

Vậy với $x \le - 2$ thì biểu thức có nghĩa.

b) Để $\sqrt {\frac{{x + 3}}{{4 - x}}}$ có nghĩa $\frac{{x + 3}}{{4 - x}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x + 3 \ge 0\\ 4 - x > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x + 3 \le 0\\ 4 - x < 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le x < 4$

Vậy với $- 3 \le x < 4$ thì biểu thức có nghĩa.

Bài 2: Cho hai biểu thức $A = \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}$ và $B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}$

Rút gọn biểu thức S = A – B

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định: $x \ge 0;x \ne 1$

Rút gọn A:

$A = \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}$

$A = \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}$

$A = \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}$

$A = \frac{{x + 2 + x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}$

$A = \frac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}$

$S = A - B = \frac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}$

$= \frac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{2x + 1 - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$

Bài 3: Cho biểu thức $A = \frac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{x - 1}}$ với $x \ne 1$ . Tính giá trị của A khi x = 8

Lời giải chi tiết:

$A = \frac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{x - 1}}$ (điiều kiện xác định: $x \ne 1$ )

Thay x = 8 (thỏa mãn) vào biểu thức A có:

$A = \frac{{8 - \sqrt[3]{8}}}{{8 - 1}} = \frac{{8 - 2}}{7} = \frac{6}{7}$

Vậy với x = 8 thì $A = \frac{6}{7}$

C. Bài tập tính giá trị của biểu thức

Bài 1: Tìm điều kiện xác định để các biểu thức dưới đây có nghĩa:

1) $\sqrt { - 7x}$	2) $\sqrt {2 - 5x}$	3) $\sqrt {{x^2} - 2x + 1}$
4) $\frac{{15x - 3}}{{\sqrt {x - 4} }}$	5) $2 - 6\sqrt {7x + 3}$	6) $\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + x - 2} }}$

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

1) $A = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} - \left( {\sqrt x + 2} \right)} \right].\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{2}$

2) $B = \frac{1}{{{x^2} - \sqrt x }}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }}$

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:

1, $M = \frac{1}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{3 + \sqrt x }} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}}$ tại x = 4

2, $N = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{3\sqrt x - 4}}{{1 - x}}$ tại x = 9

3, $D = \frac{1}{{\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } }}$ tại x = 3

4, C = A : B tại $x = \frac{{ - 1}}{2}$

với $A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{4}{{2 - x}} + \frac{3}{{x + 2}}} \right)$ và $B = x - 2 + \frac{{11 - {x^2}}}{{x + 2}}$

5, $E = \frac{{\sqrt {2x + 2\sqrt {{x^2} - 4} } }}{{\sqrt {{x^2} - 4} + x + 2}}$ tại $x = 2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)$

6, $F = \left( {\frac{3}{{\sqrt {1 + a} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)$ tại $a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}$

7, $A = \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{15\sqrt x - 11}}{{x + 2\sqrt x - 3}}$ tại

8, $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}$ tại $x = \frac{{16}}{{25}}$

9, tại

10, tại

Bài 4 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán Hà Nội năm 2021):

Cho hai biểu thức $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$ và $B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 9}}{{x - 9}}$ với $x \geqslant 0;\,\,x \ne 9$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 16$

b) Chứng minh $A + B = \frac{3}{{\sqrt x + 3}}$

Bài 5 Cho biểu thức $A = \frac{2}{{\sqrt x + 6}}$ và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{3x+4}{x-4}$ với $x \geqslant 0;\,\,x \ne 4$

a) Tính giá trị biểu thức của A khi x = 9;

b) Chứng minh $B= \frac{2}{{\sqrt x + 2}}$

c) Tìm số nguyên tố x lớn nhất thỏa mãn $\frac{A}{B}<\frac{2}{3}$ .

Xem lời giải chi tiết

Bài 6 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán thành phố Hà Nội năm 2022):

Cho hai biểu thức $A = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ và $B = \frac{{x + 4}}{{x - 4}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}}$ với $x \geqslant 0,x \ne 4$

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$

3) Tìm số nguyên dương x lớn nhất thỏa mãn $A - B < \frac{3}{2}$

Bài 7 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán THPT chuyên Bắc Giang năm 2022):

Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{6}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{36}}{{9 - x}}} \right):\frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{x - 4\sqrt x + 3}}$