Hình vẽ minh họa

Ta có TanB = AC/AB => AC = tanB . AC = 7/3 . 3 = 7

Tam giác ABC vuông tại A

=> AB² + AC² = BC²

=> BC² = 3² + 7² = 9 + 49 = 582²

=> BC =

=> tanC = AB/AC = 3/7

=> Góc C bằng 23⁰11’’

Hướng dẫn giải

1. a) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của O trên CD và EF

=> HC = HD; KE = KF

Xét tam giác OHM và OKN

2OM = OA = OB = ON

Góc MOH = góc NOK (đối đỉnh)

=> Tam giác OHM = tam giác OKN

=> OH = OK => CD = EF

Xét tứ giác CDEF có CD // EF, CD = EF

=> Tứ giác CDEF là hình bình hành

Ta lại có HK là đường trung bình

=> HK // CE => CD vuông góc với CE => CDEF là hình chữ nhật

Thay giá trị nghiệm (x; y) = (1; 3) vào hệ phương trình có:

Vậy với a = và b = thì hệ phương trình có nghiệm (1; 3)

Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa

Gọi chu vi của hình tròn là C (cm)

Do chu vi hình tròn bằng chu vi hình vuông

=> Chu vi hình vuông bằng C (cm)

Xét hình tròn ta có:

C = 2 π.R (trong đó R là bán kính đường tròn)

=> Bán kính đường tròn là: R = C/ 2 π

=> Diện tích hình tròn là:

Xét hình vuông ta có:

C = 4a (trong đó a là độ dài một cạnh hình vuông.

=> Độ dài một cạnh của hình vuông là: a = C/4

=> Diện tích hình vuông là:

Ta có: => S_HT > S_HV

Vậy diện tích hình tròn lớn hơn diện tích hình vuông.

Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa

Gọi độ dài đoạn AH là x (Điều kiện x > 0)

Xét tam giác ABC vuông tại C có đường cao CH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AC² = AH . AB

=> 15² = x.(x + 16)

=> x² + 16x – 225 = 0

=> x = 9 (thỏa mãn) hoặc x = -25 (không thỏa mãn)

=> AH = 9(cm)

Xét tam giác ACH vuông tại H ta có:

CH là đường cao

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

AC² = AH² + CH²

=> CH² = 15² – 9² = 144

=> CH = 12 (cm)

Mà AB = AH + BH = 9 + 6 = 25 (cm)

=> Diện tích tam giác ABC là: S = CH . AB /2 = 25 . 12 /2 = 150 (cm²)

Diện tích tam giác bằng đường cao nhân với cạnh đáy tương ứng rồi chia cho 2.

Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa

Các cung AB, BC, CA tạo thành một đường tròn:

=> sdAB + sdBC + sdCA = 360⁰

=> x + 75º + 2x + 25º + 3x – 22º = 360º

=> 6x = 282º

=> x = 47º

Góc A, góc B, góc C là các góc nội tiếp chắn các cung BC, CA, AB

Góc A = 1/2 sdBC = (2. 47⁰ + 25⁰)/2 = 59,5⁰

Góc B = 1/2 sdCA = (3. 47⁰ - 22⁰)/2 = 59,5⁰

Góc c = 1/2 sdAB = (47⁰ + 75⁰)/2 = 61⁰

Vậy chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180⁰

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180⁰ thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

Định lý Pytago

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

ΔABC vuông tại A => BC² = AB² + AC²

Định lý Pytago đảo

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

ΔABC có BC² = AB² + AC² => Góc BAC = 90^o

Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có:

BG = 2/3 BN

Xét tam giác BCN vuông tại C, đường cao CG có:

BC² = BG . BN

=> BN . 2/3 BN = a²

=> BN² = 3a²/2

=>

b) Ta có: ΔBOD ∾ ΔOED (chứng minh trên)

=>

Mà CO = BO =>

Xét tam giác BOD và tam giác OED có:

Góc B = Góc EOD = 60⁰

(chứng minh trên)

=> ΔBOD ∾ ΔOED (c – g – c)

=> Góc BDO = Góc ODE

=> DO là phân giác góc BDE.

Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có: (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau

=> OO’ = R + r

O’A ⊥ BP, OB ⊥ BP

=> O’A // OB

=> ΔPAO’ ∾ ΔPBO

=>

=> OB = 2.O'A hay R = 2.r

và OP = 2.O’P

=> O’P = OO’ = R + r = 3.r

Xét tam giác O’AP vuông tại A, áp dụng định lí Py – ta – go ta có:

O’P² = O’A² + AP²

=> (3r)² = r² + 4²

=> 8r² = 16 => r² = 2

Diện tích hình tròn (O’; r) là: S = π.r² = 2π (cm²)

Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

AD là phân giác góc BAC => Góc A₁ = Góc A₂

Xét đường tròn (O’) ta có:

Góc A­₁ là góc nội tiếp chắn cung BD

Góc A­₂ là góc nội tiếp chắn cung DC

=> sđ BD = sđ DC

=> BD = DC (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau) (1)

Góc B₃ và góc A₂ đều là các góc nội tiếp chắn cung DC

=> Góc B₃ = góc A₂ và góc A₁ = góc A₂

=> Góc B₃ = góc A₁

Xét tam giác OAB có:

Góc BOD là góc ngoài của tam giác

=> Góc BOD = Góc A₁ + Góc B₁

Mà góc B₃ = góc A₁, góc B₁ = góc B₂

=> Góc BOD = Góc B₃ + góc B₂ = Góc OBD

=> Tam giác OBD cân taị D.

=> DB = DO

Từ (1) và (2) suy ra DB = DC = DO.

Vậy chọn đáp án D.