Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có:

BG = 2/3 BN

Xét tam giác BCN vuông tại C, đường cao CG có:

BC² = BG . BN

=> BN . 2/3 BN = a²

=> BN² = 3a²/2

=>

b) Ta có: ΔBOD ∾ ΔOED (chứng minh trên)

=>

Mà CO = BO =>

Xét tam giác BOD và tam giác OED có:

Góc B = Góc EOD = 60⁰

(chứng minh trên)

=> ΔBOD ∾ ΔOED (c – g – c)

=> Góc BDO = Góc ODE

=> DO là phân giác góc BDE.

Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có: (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau

=> OO’ = R + r

O’A ⊥ BP, OB ⊥ BP

=> O’A // OB

=> ΔPAO’ ∾ ΔPBO

=>

=> OB = 2.O'A hay R = 2.r

và OP = 2.O’P

=> O’P = OO’ = R + r = 3.r

Xét tam giác O’AP vuông tại A, áp dụng định lí Py – ta – go ta có:

O’P² = O’A² + AP²

=> (3r)² = r² + 4²

=> 8r² = 16 => r² = 2

Diện tích hình tròn (O’; r) là: S = π.r² = 2π (cm²)

Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

AD là phân giác góc BAC => Góc A₁ = Góc A₂

Xét đường tròn (O’) ta có:

Góc A­₁ là góc nội tiếp chắn cung BD

Góc A­₂ là góc nội tiếp chắn cung DC

=> sđ BD = sđ DC

=> BD = DC (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau) (1)

Góc B₃ và góc A₂ đều là các góc nội tiếp chắn cung DC

=> Góc B₃ = góc A₂ và góc A₁ = góc A₂

=> Góc B₃ = góc A₁

Xét tam giác OAB có:

Góc BOD là góc ngoài của tam giác

=> Góc BOD = Góc A₁ + Góc B₁

Mà góc B₃ = góc A₁, góc B₁ = góc B₂

=> Góc BOD = Góc B₃ + góc B₂ = Góc OBD

=> Tam giác OBD cân taị D.

=> DB = DO

Từ (1) và (2) suy ra DB = DC = DO.

Vậy chọn đáp án D.

Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa

Ta có: Góc BAC là góc nội tiếp chắn cung BC

=> Góc BAC = 1/2 sdBC = 60⁰

=> Góc DAC = 120⁰

Xét tam giác ADC có:

AD = CA

=> ∆ADC cân tại A

=> Góc D = (180⁰ – Góc CAD)/2 = (180⁰ – 120⁰)/2 = 30⁰

Hay góc BCD không đổi

+ Khi A ≡ C thì D ≡ C, khi A ≡ B thì D ≡ E (BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B).

Vậy khi A di chuyển trên cung lớn BC thì D di chuyển trên cung CE thuộc cung chứa góc 30º dựng trên.

Góc BPD = (sd BD – sd AC)/2

Góc AQC = sd AC/2

Góc BPD + góc AQC

= (sd BD – sd AC)/2 + sd AC/2

= 1/2 sd BD

= 1/2 (sd BQ + sd QD)

= 1/2 (42⁰ + 38⁰) = 40⁰

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 4cm.

+ O thuộc cung 120º dựng trên đoạn BC.

+ A là giao của 2 tiếp tuyến

=> (O; 1cm) tiếp xúc với AB và AC

Mà khoảng cách từ O đến BC = 1cm

=> (O; 1cm) cũng tiếp xúc với BC

=> (O; 1cm) là đường tròn nội tiếp ΔABC

Vậy ΔABC có BC = 4cm, , đường tròn nội tiếp có bán kính 1cm thỏa mãn yêu cầu.

Lời giải chi tiết

Nghiệm chung x (nếu có) của hai phương trình là nghiệm của hệ:

Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:

ax + 1+ x+ a = 0

=> (ax + x) + (1 + a) =0

=> (a + 1).x+ (1+ a) = 0

=> (a + 1) . (x + 1) = 0

=> a = - 1 hoặc x= -1

Với a = -1 thay vào (2) ta được: x²- x + 1 = 0 phương trình này vô nghiệm

vì ∆= (-1)² – 4.1.1= - 3 < 0

=> Loại a = -1.

Thay x = -1 vào (2) suy ra a = 2.

Vậy với a = 2 thì phương trình có nghiệm chung là x = -1

Chọn đáp án C

Lời giải chi tiết

Xét hai trường hợp:

TH1: Đường cao hình trụ bằng 3cm, đường kính đáy trụ bằng 2cm (hình a)

=> Bán kính đáy trụ: R = 1cm.

S_xq = 2πRh = 2π.1.3 = 6π (cm²)

V = πR²h = π.1².3 = 3π (cm³)

TH2: Đường cao hình trụ bằng 2cm, đường kính đáy trụ bằng 3cm

=> Bán kính đáy trụ: R = 1,5 cm

S_xq = 2πRh = 2π.1,5.2 = 6π (cm²)

V = πR²h = π.(1,5)².2 = 4,5π (cm³)

Hướng dẫn giải

- Thể tích hình cầu: V = 4/3.π.R³

- Diện tích xung quanh hình trụ là S_xq = 2πrh

- Diện tích toàn phần hình trụ là: S_tp = S_xq + 2.S_đ = 2πrh + 2πr²

- Thể tích hình trụ là: V = S.h = πr²h

Lời giải chi tiết

Xét tam giác vuông ABC có:

AB = BC . sinC = BC . sin30⁰ = 4 . 0,5 = 2 (dm)

AC = BC . cosC = BC . cos30⁰ = (dm)

Suy ra: S_xq = π.R . l = π . 2 . 4 = 8π (dm²)

V = 1/3.π.R².h = (dm³)

Lời giải chi tiết

Gọi số sách ở giá thứ nhất là x (cuốn sách)

Số sách ở giá thứ hai là y (cuốn sách)

Điều kiện: , x > 50, x < 450, y < 450

Trên hai giá sách có 450 cuốn sách nên ta có: x + y = 450 (*)

Khi chuyển 50 cuốn sách từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì

+ Số sách ở giá thứ nhất là x – 50 (cuốn sách)

+ Số sách ở giá thứ hai là y + 50 (cuốn sách)

Theo bài ra ta có: Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì giá thứ hai bằng 4/5 số sách ở giá thứ nhất nên ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được kết quả x = 300, y = 150 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số sách ở giá thứ nhất là 300 cuốn, Số sách ở giá thứ hai là 150 cuốn sách.