Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có: (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau

=> OO’ = R + r

O’A ⊥ BP, OB ⊥ BP

=> O’A // OB

=> ΔPAO’ ∾ ΔPBO

=>

=> OB = 2.O'A hay R = 2.r

và OP = 2.O’P

=> O’P = OO’ = R + r = 3.r

Xét tam giác O’AP vuông tại A, áp dụng định lí Py – ta – go ta có:

O’P² = O’A² + AP²

=> (3r)² = r² + 4²

=> 8r² = 16 => r² = 2

Diện tích hình tròn (O’; r) là: S = π.r² = 2π (cm²)

Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

AD là phân giác góc BAC => Góc A₁ = Góc A₂

Xét đường tròn (O’) ta có:

Góc A­₁ là góc nội tiếp chắn cung BD

Góc A­₂ là góc nội tiếp chắn cung DC

=> sđ BD = sđ DC

=> BD = DC (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau) (1)

Góc B₃ và góc A₂ đều là các góc nội tiếp chắn cung DC

=> Góc B₃ = góc A₂ và góc A₁ = góc A₂

=> Góc B₃ = góc A₁

Xét tam giác OAB có:

Góc BOD là góc ngoài của tam giác

=> Góc BOD = Góc A₁ + Góc B₁

Mà góc B₃ = góc A₁, góc B₁ = góc B₂

=> Góc BOD = Góc B₃ + góc B₂ = Góc OBD

=> Tam giác OBD cân taị D.

=> DB = DO

Từ (1) và (2) suy ra DB = DC = DO.

Vậy chọn đáp án D.

Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa

Ta có: Góc BAC là góc nội tiếp chắn cung BC

=> Góc BAC = 1/2 sdBC = 60⁰

=> Góc DAC = 120⁰

Xét tam giác ADC có:

AD = CA

=> ∆ADC cân tại A

=> Góc D = (180⁰ – Góc CAD)/2 = (180⁰ – 120⁰)/2 = 30⁰

Hay góc BCD không đổi

+ Khi A ≡ C thì D ≡ C, khi A ≡ B thì D ≡ E (BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B).

Vậy khi A di chuyển trên cung lớn BC thì D di chuyển trên cung CE thuộc cung chứa góc 30º dựng trên.

Góc BPD = (sd BD – sd AC)/2

Góc AQC = sd AC/2

Góc BPD + góc AQC

= (sd BD – sd AC)/2 + sd AC/2

= 1/2 sd BD

= 1/2 (sd BQ + sd QD)

= 1/2 (42⁰ + 38⁰) = 40⁰

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 4cm.

+ O thuộc cung 120º dựng trên đoạn BC.

+ A là giao của 2 tiếp tuyến

=> (O; 1cm) tiếp xúc với AB và AC

Mà khoảng cách từ O đến BC = 1cm

=> (O; 1cm) cũng tiếp xúc với BC

=> (O; 1cm) là đường tròn nội tiếp ΔABC

Vậy ΔABC có BC = 4cm, , đường tròn nội tiếp có bán kính 1cm thỏa mãn yêu cầu.

Lời giải chi tiết

Nghiệm chung x (nếu có) của hai phương trình là nghiệm của hệ:

Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:

ax + 1+ x+ a = 0

=> (ax + x) + (1 + a) =0

=> (a + 1).x+ (1+ a) = 0

=> (a + 1) . (x + 1) = 0

=> a = - 1 hoặc x= -1

Với a = -1 thay vào (2) ta được: x²- x + 1 = 0 phương trình này vô nghiệm

vì ∆= (-1)² – 4.1.1= - 3 < 0

=> Loại a = -1.

Thay x = -1 vào (2) suy ra a = 2.

Vậy với a = 2 thì phương trình có nghiệm chung là x = -1

Chọn đáp án C

Lời giải chi tiết

Xét hai trường hợp:

TH1: Đường cao hình trụ bằng 3cm, đường kính đáy trụ bằng 2cm (hình a)

=> Bán kính đáy trụ: R = 1cm.

S_xq = 2πRh = 2π.1.3 = 6π (cm²)

V = πR²h = π.1².3 = 3π (cm³)

TH2: Đường cao hình trụ bằng 2cm, đường kính đáy trụ bằng 3cm

=> Bán kính đáy trụ: R = 1,5 cm

S_xq = 2πRh = 2π.1,5.2 = 6π (cm²)

V = πR²h = π.(1,5)².2 = 4,5π (cm³)

Hướng dẫn giải

- Thể tích hình cầu: V = 4/3.π.R³

- Diện tích xung quanh hình trụ là S_xq = 2πrh

- Diện tích toàn phần hình trụ là: S_tp = S_xq + 2.S_đ = 2πrh + 2πr²

- Thể tích hình trụ là: V = S.h = πr²h

Lời giải chi tiết

Xét tam giác vuông ABC có:

AB = BC . sinC = BC . sin30⁰ = 4 . 0,5 = 2 (dm)

AC = BC . cosC = BC . cos30⁰ = (dm)

Suy ra: S_xq = π.R . l = π . 2 . 4 = 8π (dm²)

V = 1/3.π.R².h = (dm³)

Lời giải chi tiết

Gọi số sách ở giá thứ nhất là x (cuốn sách)

Số sách ở giá thứ hai là y (cuốn sách)

Điều kiện: , x > 50, x < 450, y < 450

Trên hai giá sách có 450 cuốn sách nên ta có: x + y = 450 (*)

Khi chuyển 50 cuốn sách từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì

+ Số sách ở giá thứ nhất là x – 50 (cuốn sách)

+ Số sách ở giá thứ hai là y + 50 (cuốn sách)

Theo bài ra ta có: Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì giá thứ hai bằng 4/5 số sách ở giá thứ nhất nên ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được kết quả x = 300, y = 150 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số sách ở giá thứ nhất là 300 cuốn, Số sách ở giá thứ hai là 150 cuốn sách.

Lời giải chi tiết

Gọi số ghế băng lúc đầu là x (ghế băng), (Điều kiện: x ∈ N^*, x > 2)

Số học sinh ngồi trên mỗi ghế là 40/x (học sinh)

Khi bớt đi 2 ghế băng thì còn lại x – 2 (ghế băng)

=> Mỗi ghế có 40/(x – 2) (học sinh)

Theo bài ra ta có: nếu ta bớt đi 2 ghế băng thì mỗi ghế còn lại phải xếp thêm 1 học sinh nên ta có phương trình:

<=> 40x – x(x – 2) = 40(x – 2)

<=> 40x – x² + 2x = 40x – 80

<=> -x² + 2x + 80 = 0

Giải phương trình bậc hai ta được

Vậy số ghế băng lúc đầu là 10 ghế.

Lời giải chi tiết

Gọi số đo độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là x(cm), y (cm)

(Điều kiện: 0 < y < x < 10)

Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm nên ta được x – y = 2 (1)

Theo định lý Pytago ta có: x² + y² = 10² = 100 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Từ (*) => x= y + 2 thay vào (**) ta được:

(y + 2)² + y² = 100

=> y²+ 4y + 4 + y² = 100

=> 2y² + 4y – 96 = 0 hay y² + 2y – 48 = 0

Giải ra ta được: y₁ = 6; y₂ = -8 < 0 (loại)

Với y = 6 => x = 8.

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 6cm và 8cm.