Với mọi giá trị của tham số m, chứng minh phương trình x^5 + x^2 – (m^2 + 2).x – 1 = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thực

Hướng dẫn giải

Đặt y = f(x) = x⁵ + x² – (m² + 2).x – 1

Vì hàm số là hàm sơ cấp nên tập xác định là tập số thực

Suy ra f(x) liên tục trên R với mọi giá trị của tham số m.

Ta có:

f(0) = 0⁵ + 0² – (m² + 2).0 – 1 = -1 < 0

f(-1) = (-1)⁵ + (-1)² – (m² + 2).(-1) – 1 = m² + 1 > 0, với mọi giá trị của tham số m

Khi đó: f(0) . (-1) < 0, với mọi giá trị của tham số m

=> f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc (-1; 0).

Hàm số liên tục

1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D và

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x₀

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x₀ ta nói hàm số gián đoạn tại x₀.

2. y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
3. y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và .

Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b].

Nếu và P là một điểm nằm giữa f(a); f(b) thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = P.

Định lí 3: Cho các hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục tại x₀. Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tại x₀, thương liên tục nếu g(x) ≠ 0.

Hệ quả: Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

- Nếu f(a). f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

- Nói cách khác: Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).