Giaitoan.com Toán 12 Chuyên đề Toán 12

Tìm m để hàm số có 5 cực trị Cực trị của hàm số

Nội dung
  • 8 Đánh giá

Tìm m để hàm số có cực trị

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, GiaiToan.com xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Tìm tham số m để hàm số có 5 cực trị. Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc các phương pháp giải bài tập ứng dụng tìm tham số m để hàm số có cực trị cùng hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Tìm m để hàm số có 5 điểm cực trị

Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị?

Tìm m để hàm số có 5 cực trị

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

Hướng dẫn giải

Hàm số y = f(|x| + m) là hàm số chẵn

Với x > 0, y = f(|x| + m) = f(x + m) có y’ = f’(x + m)

y’ = f’(x + m) = 0

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + m = - 2} \\ {x + m = 1} \\ {x + m = 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - m - 2} \\ {x = - m + 1} \\ {x = - m + 2} \end{array}} \right.

Hàm số y = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi y = f(|x| + m) có hai điểm cực trị dương hay:

\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - m - 2 \leqslant 0} \\ { - m + 1 > 0} \end{array} \Leftrightarrow - 2 \leqslant m < 1} \right.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m để hàm số y = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị.

Chọn đáp án B

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [-10; 10], để hàm số y = |mx3 – 3mx2 + (3m – 2)x + 2 – m| có 5 điểm cực trị?

A. 9

B. 11

C. 7

D. 10

Hướng dẫn giải

Xét các trường hợp như sau:

Trường hợp 1: Với m = 0

Thay vào hàm số y ta được y = |-2x + 2| có 1 điểm cực trị nên m = 0 loại

Trường hợp 2: Với m ≠ 0

Hàm số y = |mx3 – 3mx2 + (3m – 2)x + 2 – m| có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số f(x) = mx3 – 3mx2 + (3m – 2)x + 2 – m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Xét phương trình

f(x) = 0

⇔ mx3 – 3mx2 + (3m – 2)x + 2 – m = 0

⇔ (x – 1)(mx2 – 2mx + m – 2) = 0

⇔ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {m{x^2} - 2mx + m - 1 = 0\left( * \right)} \end{array}} \right.

Để f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm x = 1

\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ne 0} \\ {\Delta ' > 0} \\ {m - 2m + m - 2 \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ne 0} \\ {m > 0} \\ { - 2 \ne 0} \end{array}} \right.

Do m ∈ [-10; 10] => m ∈ (0; 10]

Vậy có 10 giá trị của m thỏa mãn

Chọn đáp án D

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) = (x + 1)2(x2 – 4x). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = f(2x2 – 12x + m) có đúng 5 điểm cực trị?

A. 17

B. 16

C. 18

D. 19

Hướng dẫn giải

Ta có:

g’(x) = (4x – 12).f’(2x2 – 12x + m)

= (4x – 12)(2x2 – 12x + m + 1)2(2x2 – 12x + m)(2x2 – 12x + m – 4)

Hàm số g(x) có đúng 5 điểm cực trị

=> g’(x) đổi dấu 5 lần

=> g’(x) = 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt

=> Phương trình 2x2 – 12x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình 2x2 – 12x + m – 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3 và các nghiệm này khác nhau

Phương trình 2x2 – 12x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình 2x2 – 12x + m – 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3

\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Delta _1}' > 0} \\ {{\Delta _2}' > 0} \\ {{{2.3}^2} - 12.3 + m \ne 0} \\ {{{2.3}^2} - 12.3 + m - 4 \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {36 - 2m > 0} \\ {36 - 2\left( {m - 4} \right) > 0} \\ {m \ne 18} \\ {m \ne 22} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m < 18

Vậy với điều kiện m < 18 giả sử hai phương trình có nghiệm chung là a

Thay x = a vào hai phương trình đã cho ta được

\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{a^2} - 12a + m = 0} \\ {2{a^2} - 12a + m - 4 = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow - 4 = 0\left( {loai} \right)

Do đó các nghiệm của hai phương trình 2x2 – 12x + m = 0 và 2x2 – 12x + m – 4 = 0 luôn khác nhau.

Mà m là số nguyên dương nên m ∈ {1; 2; 3; ….; 17}

=> Có 17 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài

Chọn đáp án A

Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có f'(x) = (x2 - 16)(x + 1)(x2 - 4x + m - 4). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2021; 2021] sao cho hàm số g(x) = f(x2) có 5 điểm cực trị?

A. 2025B. 2026C. 2021D. 4043

Hướng dẫn giải

Ta có:

g'(x) = 2x.f'(x2) = 2x . (x4 - 16) . (x2 + 1) . (x4 - 4x2 + m - 4)

Ta có: g'(x) = 0

\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {{x^4} - 16 = 0} \\ {{x^4} - 4{x^2} + m - 4 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 2} \\ {x = - 2} \\ {{x^4} - 4{x^2} + m - 4 = 0\left( * \right)} \end{array}} \right.

Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm x = 0 => m - 4 = 0 => m = 4.

Thay m = 4 vào (*) ta có:  x4 – 4x2 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 2} \\ {x = - 2} \end{array}} \right.

Khi đó g'(x) = 0 có 3 nghiệm bội chẵn nên hàm số g(x) không thể có 5 điểm cực trị nên m = 4 (Không thỏa mãn)

Trường hợp 2: Phương trình (*) có nghiệm x = 2 hoặc x = -2 => m - 4 = 0 => m = 4 (Không thảo mãn)

Trường hợp 3: Phương trình (*) có hai nghiệm đơn phân biệt khác 0 và khác 2 và khác -2 hay

t2 - 4t + m - 4 = 0 phải có hai nghiệm trái dấu (với t = x2) => m - 4 < 0 => m < 4

Khi đó g'(x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt nên hàm số g(x) có 5 điểm cực trị

Kết hợp với điều kiện m thuộc [-2021; 2021] suy ra -2021 ≤ m < 4, (m là số nguyên) nên ta có 2025 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f(x) = (x - 2)2 . (x2 - x) (x là số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số f\left( {\frac{1}{2}{x^2} - 6x + m} \right) có 5 điểm cực trị. Tìm tổng tất cả các phần tử của S.

A. 154B. 17C. 213D. 153

Hướng dẫn giải

Ta có: Với x = 2 là nghiệm kép x = 0; x = 1 là nghiệm đơn. Do đó hàm số f(x) có hai điểm cực trị là x = 0; x = 1

Đặt g(x)=f\left( {\frac{1}{2}{x^2} - 6x + m} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {x - 6} \right)f'\left( {\frac{1}{2}{x^2} - 6x + m} \right)

Khi đó g'(x) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 6} \\ {\dfrac{1}{2}{x^2} - 6x + m = 2} \\ {\dfrac{1}{2}{x^2} - 6x + m = 0\left( 1 \right)} \\ {\dfrac{1}{2}{x^2} - 6x + m = 1\left( 2 \right)} \end{array}} \right.

Để hàm số có 5 điểm cực trị (1) và (2) có hai nghiệm phân biệt không trùng nhau và khác 6

Suy ra \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Delta _1} > 0} \\ {{\Delta _2} > 0} \\ {\dfrac{1}{2}{{.6}^2} - 6.6 + m \ne 0} \\ {\dfrac{1}{2}{{.6}^2} - 6.6 + m \ne 1} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {9 - \dfrac{m}{2} > 0} \\ {9 - \left( {\dfrac{{m - 1}}{2}} \right) > 0} \\ {m \ne 18} \\ {m \ne 19} \end{array}} \right.

=> m < 18

=> m ∈ {1; 2; 3; ...; 17}

Vậy tổng giá trị của m là 1 + 2 + 3 + ... + 17 = 153

Chọn đáp án D

---------------------------------------------------------------

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: Người Dơi
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 22.621
Tìm thêm: Toán 12 ôn thi thpt quốc gia 2024
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Tài liệu tham khảo khác

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần