Giaitoan.com Toán 12 Chuyên đề Toán 12

Tìm m để hàm số đồng biến trên R Tính đơn điệu của hàm số

Nội dung
  • 6 Đánh giá

Tìm m để hàm số đồng biến

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, GiaiToan.com xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên R. Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc các phương pháp giải bài tập ứng dụng tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến với điều kiện cho trước cùng hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

I. Cách xác định hàm số đồng biến trên R

Tìm tham số m để hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đơn điệu trên R

Phương pháp:

Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c là tam thức bậc hai có biệt thức ∆

Để hàm số đồng biến trên R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.

Để hàm số nghịch biến trên R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.

B. Bài tập tìm m để hàm số đồng biến trên R

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}\left( {{m^2} - 2m} \right){x^3} + m{x^2} + 3x đồng biến trên \mathbb{R}

A. m < 0

B. \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 0} \\ {m \geqslant 3} \end{array}} \right.

C. \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {m \geqslant 3} \end{array}} \right.

D. 1 < m ≤ 3

Hướng dẫn giải

Ta có: y’ = (m2 – 2m).x2 + 2mx + 3

Trường hợp 1: m2 – 2m = 0 => m = 0 hoặc m = 2

Với m = 0, y’ = 3

=> y’ > 0 với mọi x

Do đó m = 0 thỏa mãn hàm số đồng biến trên \mathbb{R}

Với m = 2, y’ = 4x + 3

=> m = 0 không thỏa mãn hàm số đồng biến trên \mathbb{R}

Trường hợp 2: m2 – 2m ≠ 0 => m ≠ 0 hoặc m ≠ 2

Hàm số đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi

\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 2m > 0} \\ {\Delta ' = {m^2} - 3\left( {{m^2} - 2m} \right) \leqslant 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 2m > 0} \\ { - 2{m^2} + 6m \leqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 2} \\ {m < 0} \end{array}} \right.} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \geqslant 3} \\ {m \leqslant 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \geqslant 3} \\ {m < 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Vậy \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 0} \\ {m \geqslant 3} \end{array}} \right. thỏa mãn yêu cầu bài toán đề ra.

Chọn đáp án B

Ví dụ 2: Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = {x^3} - 3m{x^2} + 3x + 1 đồng biến trên \mathbb{R} là:

A. m ∈ [-1; 1]

B. m ∈ (-∞; -1] ∪ [1; +∞)

C. m ∈ (-∞; -1) ∪ (1; +∞)

D. m ∈ (-1; 1)

Hướng dẫn giải

Ta có: y’ = 3x2 – 6mx + 3

Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi

\begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 > 0} \\ {{{\left( { - 3m} \right)}^2} - 9 \leqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 9{m^2} - 9 \leqslant 0 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 1;1} \right] \hfill \\ \end{matrix}

Vậy m ∈ [-1; 1] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án A

Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x + m\sqrt {{x^2} + 2} đồng biến trên \mathbb{R}:

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = 1 + m.\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} + mx}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}

Hàm số đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi

\begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2} + xm \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 \geqslant 0,x = 0} \\ {m \geqslant \dfrac{{ - \sqrt {{x^2} + 2} }}{x},\forall x > 0\left( * \right)} \\ {m \leqslant \dfrac{{ - \sqrt {{x^2} + 2} }}{x},\forall x < 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Xét g\left( x \right) = \frac{{ - \sqrt {{x^2} + 2} }}{x} có g'\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 2} }} > 0;\forall x \ne 0

Ta có bảng biến thiên:

Tìm m để hàm số đồng biến trên R

Do đó từ (*) suy ra \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \geqslant 1} \\ {m \leqslant 1} \end{array} \Leftrightarrow - 1 \leqslant m \leqslant 1} \right.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn là -1; 0; 1

Chọn đáp án D

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y = {x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - 3mx + 5m - 2 đồng biến trên \mathbb{R}.

A. - 4 \leqslant m \leqslant - \frac{1}{4}

B. - 4 < m < - \frac{1}{4}

C. \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < - 4} \\ {m > - \dfrac{1}{4}} \end{array}} \right.

D. \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant - 4} \\ {m \geqslant - \dfrac{1}{4}} \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

Ta có:

y' = 3{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x - 3m

Để hàm số đồng biến trên \mathbb{R} thì:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta ' \leqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 > 0} \\ {4{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 9m} \end{array} \Leftrightarrow m \in \left[ { - 4, - \frac{1}{4}} \right]} \right.

Đáp án A

C. Bài tập tự luyện xét sự đơn điệu của hàm số

Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên \mathbb{R}?

A. f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 4

B. f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + 10x + 2

C. f\left( x \right) = - \frac{4}{5}{x^5} + \frac{4}{3}{x^3} - x

D. f\left( x \right) = {x^3} + 10x - {\cos ^2}x

Câu 2: Cho hàm số y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d. Hỏi hàm số đồng biến trên \mathbb{R} khi nào?

A.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = b = c = 0} \\ {a < 0,{b^2} - 3ac < 0} \end{array}} \right.

B. \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = b = 0,c > 0} \\ {a < 0,{b^2} - 3ac \leqslant 0} \end{array}} \right.

C. \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = b = 0,c > 0} \\ {a > 0,{b^2} - 3ac \leqslant 0} \end{array}} \right.

D. \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = b = 0,c > 0} \\ {a > 0,{b^2} - 3ac \geqslant 0} \end{array}} \right.

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y = f\left( x \right) = m\cos x + x luôn đồng biến trên \mathbb{R}.

A. - 1 \leqslant m \leqslant 1

B. m > \frac{{\sqrt 3 }}{2}

C. m < \frac{1}{2}

D. \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \geqslant 1} \\ {m \leqslant - 1} \end{array}} \right.

Câu 4: Cho hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - mx - m. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R}

A. m = 0

B. m = -1

C. m = -5

D. m = -6

---------------------------------------------------------------

Trên đây GiaiToan đã giới thiệu đến thầy cô và học sinh tài liệu Tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên R, hy vọng tài liệu sẽ là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả.

Chia sẻ bởi: Mỡ
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 12.186
Tìm thêm: Toán 12 ôn thi thpt quốc gia 2022
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Tài liệu tham khảo khác

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần