Giaitoan.com Toán 12 Chuyên đề Toán 12 Luyện tập Toán 12

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tỉ số M/m thuộc khoảng nào? GTLN - GTNN của hàm số

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số được GiaiToan.com giới thiệu đến bạn đọc bài tập và lời giải chi tiết giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán hiệu quả.

Bài tập: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f\left( x \right) = 4{\left( {\sin x + {\rm{cos}}x} \right)^4} + \frac{2}{{{{\sin }^2}x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} trên đoạn \left[ {\frac{\pi }{{12}};\,\frac{\pi }{4}} \right]. Khi đó tỉ số \frac{M}{m} thuộc khoảng nào sau đây?

A. \left( {1;\,\frac{3}{2}} \right)

B. \left( {\frac{3}{2};\,2} \right) .

C. \left( {2;\,\frac{5}{2}} \right)

D. \left( {\frac{5}{2};\,3} \right)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

f\left( x \right) = 4{\left( {\sin x + {\rm{cos}}x} \right)^4} + \frac{2}{{{{\sin }^2}x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}

= 4{\left( {1 + \sin 2x} \right)^2} + \frac{8}{{{{\sin }^2}2x}}.

Đặt t = \sin 2x , x \in \left[ {\frac{\pi }{{12}};\,\frac{\pi }{4}} \right]\Rightarrow 2x \in \left[ {\frac{\pi }{6};\,\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \frac{1}{2} \le t \le 1 .

Khi đó hàm số đã cho có dạng g\left( t \right) = 4{\left( {1 + t} \right)^2} + \frac{8}{{{t^2}}} với \frac{1}{2} \le t \le 1.

Ta có g'\left( t \right) = 8\left( {1 + t} \right) - \frac{{16}}{{{t^3}}}

= \frac{8}{{{t^3}}}\left( {t - 1} \right)\left( {{t^3} + 2{t^2} + 2t + 2} \right).

Suy ra g'\left( t \right) \le 0,\,\forall t \in \left[ {\frac{1}{2};\,1} \right]

Lập bảng biến thiên của hàm số g(t):

Từ bảng biến thiên, ta có:

\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};\,1} \right]} g\left( t \right) = g\left( 1 \right) = 24 = m

\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};\,1} \right]} g\left( t \right) = g\left( {\frac{1}{2}} \right) = 41 = M

Khi đó tỉ số \frac{M}{m} = \frac{{41}}{{24}} \in \left( {\frac{3}{2};\,2} \right)

 => Đáp án B

Các bước tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn [a; b]

Bước 1: Tìm các điểm x1; x2; ...; xn thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x1); f(x2); ...; f(xn); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2.

Khi đó: M= \underset{[a;b]}{max} \ f(x) , \ m= \underset{[a;b]}{min} \ f(x)

---------------------------------------------------------------

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: Cự Giải
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 02
Tìm thêm: Toán 12 chuyên đề Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần