Giaitoan.com Toán 11

Đạo hàm bậc 2 Công thức đạo hàm

Nội dung
  • 3 Đánh giá

Bài tập Toán 11: Đạo hàm cấp 2

Cách tính đạo hàm cấp hai đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán tính đạo hàm hàm số Toán 11. Tài liệu bao gồm công thức đạo hàm đầy đủ, dễ nhớ, dễ hiểu giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Đạo hàm lớp 11. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

A. Đạo hàm cấp hai

- Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc khoảng (a; b). Khi đó ta có hàm số y’ xác định trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ có đạo hàm tại x thì ta nói đạo hàm của y’ là đạo hàm bậc hai của hàm số y = f(x). Hàm số đạo hàm của y’ được kí hiệu là y’’

- Đạo hàm cấp 3, cấp 4, … của hàm số cũng được định nghĩa tương tự và được kí hiệu là y(3); y(4); ….

B. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai

- Đạo hàm cấp hai f’’(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s(t) tại thời điểm t.

3. Cách tính đạo hàm cấp hai

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một y’

Bước 2: Tính đạo hàm của đạo hàm cấp một ta được đạo hàm cấp hai.

4. Tính đạo hàm cấp 2

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3}

b) y = \frac{x}{{x - 2}}

c) y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}

Hướng dẫn giải

a) Ta có: y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3} = {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1

\begin{matrix} \Rightarrow y' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x \hfill \\ = > y'' = \left( {y'} \right)' = \left( {6{x^5} + 12{x^3} + 6x} \right)' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6 \hfill \\ \end{matrix}

b) Ta có: y = \frac{x}{{x - 2}}

\begin{matrix} \Rightarrow y' = \left( {\dfrac{x}{{x - 2}}} \right)' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \left( {y'} \right)' = \left( {\dfrac{{ - 2}}{{x - 2}}} \right)' = 2.\dfrac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

c) Ta có: y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}

\begin{matrix} \Rightarrow y' = \left( {x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)' = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \left( {y'} \right)' = \left[ {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right]' = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ: Chứng minh rằng hàm số y = \frac{{x - 3}}{{x + 4}} thỏa mãn 2{\left( {y'} \right)^2} = \left( {y - 1} \right)y''

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = \left( {\frac{{x - 3}}{{x + 4}}} \right)' = \frac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} \Rightarrow y''\left( x \right) = \frac{{ - 14}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}

Suy ra \left( {y - 1} \right)y'' = - \left( {\frac{{x - 3}}{{x + 4}} - 1} \right).\frac{{14}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = 2.\frac{{49}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}} = 2{\left( {y'} \right)^2}

=> Điều phải chứng minh

Ví dụ: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = t3 – 3t2 – 9t. Trong đó, t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động khi t = 3s

Hướng dẫn giải

Ta có vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là v(t) = s’(t) = 3t2 – 6t – 9

Suy ra vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là a(t) = v’(t) = (3t2 – 6t – 9)2 = 6t – 6

Khi đó gia tốc của chuyển động khi t = 3s là:

a(3) = 6.3 – 6 = 12 (m/s)

vậy gia tốc của chuyển động khi t = 3s là 12m/s

5. Bài tập tính đạo hàm cấp hai

Bài 1: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = \sqrt {2x + 5}

b) y = x\sqrt {{x^2} + 1}

c) y = sinx

d) y = tanx

e) y = - 3{x^4} + 4{x^3} + 5{x^2} - 2x + 1

f) y = - \frac{1}{x}

g) y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}}

h) \frac{{5{x^2} - 3x - 20}}{{{x^2} - 2x - 3}}

Bài 2: Cho hàm số \sqrt {2x - {x^2}}. Chứng minh rằng {y^3}.y'' + 1 = 0

Bài 3: Cho hàm số y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{x}. Chứng minh rằng 2y.y'' - 1 - {\left( {y'} \right)^2} = 0

Bài 4: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình x = {t^3} - 3{t^2} - 9x + 2 (t tính bằng giây, x tính bằng mét). Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3s; t = 5s; t = 12s.

--------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Toán 11: Đạo hàm cấp 2 là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: Đen2017
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 11.243
Tìm thêm: Toán 11 Chuyên đề Toán 11
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần