Hàm số liên tục

1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D và

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x₀

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x₀ ta nói hàm số gián đoạn tại x₀.

2. y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
3. y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và .

Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b].

Nếu f(a) khác f(b) và P là một điểm nằm giữa f(a); f(b) thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = P.

Định lí 3: Cho các hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục tại x₀. Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tại x₀, thương liên tục nếu g(x) ≠ 0.

Hệ quả: Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

- Nếu f(a). f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

- Nói cách khác: Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

Lời giải chi tiết

Đặt 2x = t phương trình trở thành:

2sin²t + sin3t - 1 = sint

<=> 2sint² + sin(t + 2t) – 1 – sint = 0

<=> 2sint² + sint . cos2t + cost . sin2t – 1 – sint = 0

<=> 2sint² + sint . cos2t + 2.cos²t . sin2t – 1 – sint = 0

<=> (2sint² – 1) + sint . cos2t + sint (2cos²t – 1) = 0

<=> -cos2t + sint.cos2t + sint . cos2t = 0

<=> cos2t . (-1 + 2sin2t) = 0

=> cos2t = 0 hoặc sint = 1/2

Với cos2t = 0 =>

Với sint = 1/2 =>

Kết luận nghiệm: Vậy họ nghiệm của phương trình là:

Diện tích của tấm kính hình thoi là:

18 x 30 : 2 = 270 (cm²)

Đáp số: 270 cm²

a) Thể tích bể bơi dạng hình hộp chữ nhật là:

3 x 2 x 1,6 = 9,6 (m³)

Thể tích nước trong bể hiện nay là:

9,6 x 1 : 4 = 2,4 (m³)

b) 90% thể tích bể nước chứa số mét khối nước là:

9,6 x 90 : 100 = 8,64 (m³)

Số mét khối nước phải bơm thêm vào bể là:

8,64 – 2,4 = 6,24 (m³)

Đáp số: a) 2,4 m³

b) 6,24 m³

a) Đổi 1 giờ 45 phút = 1,75 giờ

Quãng đường người đó đi được trong 1 giờ 45 phút là:

40 x 1,75 = 70 (km)

Độ dài quãng đường AB là:

70 + 60 = 130 (km)

b) Thời gian người đó đi hết quãng đường 60 km là:

60 : 40 = 1,5 (giờ) = 1 giờ 30 phút

Thời gian người đó đi hết quãng đường AB là:

1 giờ 45 phút + 15 phút + 1 giờ 30 phút = 3 giờ 30 phút

Người đó đến tỉnh B lúc:

6 giờ 30 phút + 3 giờ 30 phút = 10 giờ

Đáp số: a) 130 km

b) 10 giờ.

Thời gian người đi xe máy đi được (không tính thời gian nghỉ) là:

9 giờ 50 phút – 7 giờ 20 phút – 15 phút = 2 giờ 15 phút

Đổi 2 giờ 15 phút = 2,25 giờ

Quãng đường AB dài:

40 x 2,25 = 90 (km)

Đáp số: 90 km.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: 58 chia hết cho 8 hay ta viết:

56 - x ⋮ 8

Vì 56 ⋮ 8 nên theo tính chất => x ⋮ 8

Mặt khác x ∈ {23; 24; 25; 26} nên x = 24

b) Ta có: 60 + 6 không chia hết cho 6 hay ta viết

(60 + 6) ⋮̸ 6

Vì 60 ⋮ 6 nên theo tính chất => x ⋮̸ 6

Mặt khác x ∈ {22; 24; 45; 48} nên có hai giá trị thỏa mãn điều kiện là x = 22 hoặc x = 45

Lời giải chi tiết

Gọi số người mỗi nhóm được chia là x.

Ta có mỗi nhóm có ít nhất 2 người và không quá 10 người nên x ∈ Ư(45) và 2 < x ≤ 10

Do đó x ∈ {3; 5; 9}

Ta có bảng sau:

Vậy huấn luyện viên có thể chia thành 15 nhóm, 9 nhóm hoặc 5 nhóm.

Lời giải chi tiết

Số ghế ngồi trong rạp chiếu phim là: 18.18 = 324 (ghế)

Tối thứ Sáu, số vé bán được là:

10 550 000 : 50 000 = 211 (vé)

Số vé không bán được là:

324 – 211 = 113 (vé)

Đáp án: Tối thứ 6 có 113 vé không bán được

1. Số tiền bán vé tối thứ Bảy là:

324 . 50 000 = 16 200 000 (đồng)

Đáp án: Số tiền bán vé thu được tối thứ 7 là 16 200 000 đồng.

1. Số vé không bán được là 41 vé nên số vé bán được là:

324 – 41 = 283 (vé)

Số tiền bán vé thu được Chủ Nhật là:

283 . 50 000 = 14 150 000 (đồng)

Đáp án: Số tiền bán vé thu được ngày Chủ nhật là 14 150 000 đồng.

Lời giải chi tiết

Trong 8 tháng đầu năm cửa hàng bán được số ti vi là: 1 264 (chiếc ti vi)

Trong 4 tháng cuối năm cửa hàng bán được số ti vi là: 4 . 164 (chiếc ti vi)

Tổng số ti vi cửa hàng đó bán trong một năm là: 1 264 + 4 . 164 (chiếc ti vi)

Trung bình một tháng cửa hàng đó bán được số ti vi là:

(1 264 + 4 . 164) : 12

= (1 264 + 656) : 12

= 1920 : 12

= 160 (chiếc ti vi)

Vậy trung bình một tháng của hàng bán được 160 chiếc ti vi.

Lời giải chi tiết

Để tính số ghế băng ta thực hiện phép chia như sau:

Kết quả thu được như sau:

997 : 5 = 199 dư 2

Khi xếp đủ 199 ghế băng thì còn dư 2 học sinh, và phải dùng thêm 1 ghế băng nữa để 2 học sinh ngồi

Khi đó cần ít nhất là 199 + 1 = 200 (ghế băng)

Vậy cần phải có ít nhất 200 ghế băng như vậy để tất cả học sinh đều có chỗ ngồi.