Chứng minh phương trình (m^2 – m + 1)x^8 + 3mx^2 – 3x – 2 = 0 có ít nhất hai nghiệm trái dấu

Hướng dẫn giải

Xét hàm số y = f(x) = (m² – m + 1)x⁸ + 3mx² – 3x – 2

Tập xác định

Vì đây là hàm số cấp các định tại nên suy ra hàm số liên tục trên R

Ta có: f(0) = (m² – m + 1).0⁸ + 3m.0² – 3.0 – 2 = -1 < 0

f(-1) = (m² – m + 1). (-1)⁸ + 3m. (-1)² – 3.(-1) – 2 = m² + 2m + 2 = (m + 1)² + 1 > 0

f(2) = (m² – m + 1).2⁸ + 3m.2² – 3.2 – 2

= 256(m² – m + 1) + 12m – 8

= 256m² – 244m + 248

= > 0

Khi đó ta có:

f(0) . f(-1) < 0

f(0) . f(2) < 0

Suy ra theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) và một nghiệm thuộc khoảng (0; 2)

Hay phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu.

Hàm số liên tục

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D và

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x₀

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x₀ ta nói hàm số gián đoạn tại x₀.

y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và

.

Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b].

Nếu f(a) khác f(b) và P là một điểm nằm giữa f(a); f(b) thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = P.

Định lí 3: Cho các hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục tại x₀. Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tại x₀, thương liên tục nếu g(x) ≠ 0.

Hệ quả: Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

- Nếu f(a). f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

- Nói cách khác: Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).