Chứng minh rằng phương trình m(x -1)(x+2)+2x+1=0 có ít nhất một nghiệm với mọi m

Hướng dẫn giải

Đặt y = f(x) = m.(x -1).(x + 2) + 2x + 1

Vì hàm số là hàm sơ cấp nên tập xác định là tập số thực

Suy ra f(x) liên tục trên R với mọi giá trị của tham số m.

Mà [-2; 1] ⊂ R

Suy ra hàm số liên tục trên [2; 1] với mọi giá trị m

Ta có:

f(-2) = m.(-2 -1).(-2 + 2) + 2.(-2) + 1 = 0 – 4 + 1 = -3 < 0

f(1) = m.(1 -1).(1 + 2) + 2.1 + 1 = 0 + 2 + 1 = 3 > 0

Khi đó ta có: f(-2).(-1) < 0

=> f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm trên [-2; 1] với mọi giá trị của tham số m.

=> Phương trình có ít nhất một nghiệm với mọi m.

Hàm số liên tục

1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D và

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x₀

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x₀ ta nói hàm số gián đoạn tại x₀.

2. y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
3. y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và .

Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b].

Nếu và P là một điểm nằm giữa f(a); f(b) thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = P.

Định lí 3: Cho các hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục tại x₀. Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tại x₀, thương liên tục nếu g(x) ≠ 0.

Hệ quả: Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

- Nếu f(a). f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

- Nói cách khác: Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).