Chứng minh rằng phương trình m(x – 1)3(x^2 – 4)+x^4-3=0 luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

Hướng dẫn giải

Đặt y = f(x) = m(x – 1)³(x² – 4) + x⁴ - 3

Vì hàm số là hàm sơ cấp nên tập xác định là tập số thực

Suy ra f(x) liên tục trên R với mọi giá trị của tham số m.

Ta có:

f(1) = m(1 – 1)³(1² – 4) + 1⁴ – 3 = -2 < 0

f(2) = m(2 – 1)³(2² – 4) + 2⁴ – 3 = 13 > 0

Kh đó ta có:

f(1) . f(2) < 0

=> f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2)

Ta lại có:

f(-2) = m(-2 – 1)³[(-2)² – 4] + (-2)⁴ – 3 = 13 > 0

Suy ra f(1).f(-2) < 0

=> f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 1)

Vậy f(x) = 0 luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Hàm số liên tục

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D và

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x₀

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x₀ ta nói hàm số gián đoạn tại x₀.

y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và

.

Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b].

Nếu f(a) khác f(b) và P là một điểm nằm giữa f(a); f(b) thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = P.

Định lí 3: Cho các hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục tại x₀. Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tại x₀, thương liên tục nếu g(x) ≠ 0.

Hệ quả: Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

- Nếu f(a). f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

- Nói cách khác: Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).