Chứng minh rằng phương trình (m^2+m+4).x^2017 – 2x + 1 = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m

Hướng dẫn giải

Đặt y = f(x) = (m² + m + 4) . x²⁰¹⁷ – 2x + 1

Vì hàm số là hàm sơ cấp nên tập xác định là tập số thực

Suy ra f(x) liên tục trên R với mọi giá trị của tham số m.

Ta có:

f(0) = (m² + m + 4) . 0²⁰¹⁷ – 2.0 + 1 = 1 > 0

m² + m + 4 =

=> Luôn tồn tại một số âm t < 0 sao cho f(t) < 0

=> f(0) . f(t) < 0

=> f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; 0)

Vậy f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Hàm số liên tục

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D và

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x₀

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x₀ ta nói hàm số gián đoạn tại x₀.

y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và

.

Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b].

Nếu f(a) khác f(b) và P là một điểm nằm giữa f(a); f(b) thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = P.

Định lí 3: Cho các hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục tại x₀. Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tại x₀, thương liên tục nếu g(x) ≠ 0.

Hệ quả: Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

- Nếu f(a). f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

- Nói cách khác: Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).