Giaitoan.com Toán 11

Đạo hàm phân số Bài tập tính đạo hàm

Nội dung
  • 7 Đánh giá

Đạo hàm phân thức

Công thức tính đạo hàm đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán tính đạo hàm hàm số mũ Toán 11. Tài liệu bao gồm công thức đạo hàm đầy đủ, dễ nhớ, dễ hiểu giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Đạo hàm lớp 11. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Công thức đạo hàm phân thức

\left( {\frac{1}{x}} \right)' = - \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{1}{u}} \right)' = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}
\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\left( {\frac{{a{x^2} + bx + c}}{{ex + f}}} \right)' = \frac{{ae{x^2} + 2afx + bf - ce}}{{{{\left( {ex + f} \right)}^2}}}
\left( {\dfrac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}}} \right)' = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|.{x^2} + 2.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|.x + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}&{{c_1}} \\ {{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|}}{{{{\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)}^2}}}

2. Bài tập tính đạo hàm phân thức

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{x + 3}}{{2x - 1}}

Hướng dẫn giải

Dùng công thức tính nhanh \left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}

Do đó với y = \frac{{x + 3}}{{2x - 1}} thì y' = \frac{8}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{{x^2} + x + 3}}{{{x^2} + x - 1}}

Hướng dẫn giải

Biến đổi biểu thức như sau:

y = \frac{{{x^2} + x + 3}}{{{x^2} + x - 1}} = \frac{{{x^2} + x - 1 + 4}}{{{x^2} + x - 1}} = 1 + \frac{4}{{{x^2} + x - 1}}

Khi đó đạo hàm của hàm số là:

y' = \left( {1 + \frac{4}{{{x^2} + x - 1}}} \right)' = \frac{{ - 4\left( {{x^2} + x - 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} + x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x - 1} \right)}^2}}}

Ví dụ: Cho hàm số y = f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 2x + 1}}{{2\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} }}. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0

Hướng dẫn giải

Thực hiện tính đạo hàm của hàm số như sau:

\begin{matrix} y' = \dfrac{{\left( {3{x^2} + 2x + 1} \right)'.2\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} - \left( {3{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {2\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} } \right)'}}{{{{\left( {2\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} } \right)}^2}}} \hfill \\ y' = \dfrac{{\left( {6x + 2} \right).2\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} - \left( {3{x^2} + 2x + 1} \right).\dfrac{{9{x^2} + 4x}}{{\sqrt {3{x^2} + 2x + 1} }}}}{{{{\left( {2\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} } \right)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} y' = \dfrac{{\left( {12x + 4} \right)\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} - \left( {9{x^2} + 4x} \right).\left( {3{x^3} + 2{x^2} + 1} \right)}}{{4.\left( {3{x^3} + 2{x^2} + 1} \right)\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} }} \hfill \\ y' = \dfrac{{ - 9{x^2} + 8x + 4}}{{4.\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

=> y’(0) = 4/4 = 1

3. Bài tập luyện tập tính đạo hàm phân thức

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm phân thức sau:

a) y = \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{2x - 3}}

b) y = \frac{{ - {x^2} + 6x + 1}}{{{x^2} + x - 1}}

c) y = \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{2x + 1}}

d) y = \frac{{2 + \sqrt x }}{{1 + 2\sqrt x }}

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây:

a) y = \frac{{ - 2{x^2} + x - 7}}{{{x^2} + 3}}

b) y = \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{5}{{{x^3}}} - \frac{6}{{7{x^4}}}

c) y = \frac{{ - {x^2} + 7x + 5}}{{{x^2} - 3x}}

d) y = \sqrt {\frac{{1 - x}}{{x + 1}}}

4. Chuyên đề Toán 11: Đạo hàm

Số gia của hàm số

Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Cách tính đạo hàm bằng máy tính

Đạo hàm ln

--------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Toán 11: Đạo hàm phân số là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: Biết Tuốt
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 13.792
Tìm thêm: Toán 11 Chuyên đề Toán 11
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần