Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy Ba đường thẳng đồng quy

30 Đánh giá

3 đường thẳng đồng quy

A. Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
B. Bài tập ví dụ chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
C. Bài tập vận dụng chứng minh ba đường thẳng đồng quy

GiaiToan.com biên soạn và đăng tải tài liệu Bài tập chứng minh ba đường thẳng đồng quy lớp 7 giúp học sinh hiểu rõ thế nào là ba điểm thẳng hàng? Các cách chứng minh ba điểm thẳng hàng tiêu chuẩn nhất. Chi tiết mời các em học sinh cùng tham khảo. Chúc các bạn học tập tốt!

A. Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

- Vận dụng các định lý về các đường thẳng đồng quy của tam giác

+ Ba đường trung tuyền của một tam giác đồng quy

+ Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy

+ Ba đường trung trực của tam giác đồng quy

- Ba đường thẳng a, b, c đã cho không phải là các đường chủ yếu của tam giác thì để chứng minh a, b, c đồng quy ta có thể gọi giao điểm của a và b là O rồi chứng minh đường thẳng c đi qua điểm O hay chứng minh O nằm trên đường thẳng c.

- Một số bài toán có thể đưa bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy về chứng minh ba điểm thẳng hàng.

B. Bài tập ví dụ chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, các đường phân giác các góc ngoài của tam giác cắt nhau tại D, E, F (D nằm trong góc A, E nằm trong góc B, F nằm trong góc C)

a) Chứng minh các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại O

b) Điểm O có vị trí như thế nào đối với tam giác DEF

Hướng dẫn giải

Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

a) Xét tam giác ABC các đường phân giác ngoài đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại D.

Do đó AD là đường phân giác trong đỉnh A

Chứng minh tương tự: ta được BE và CF lần lượt là đường phân giác trong tại đỉnh B và C của tam giác ABC

Suy ra Ba đường AD, BE, CF đồng quy tại điểm O

b) Ba điểm B, D, F thẳng hàng, ba điểm C, D, E thẳng hàng, ba điểm A, E, F thẳng hàng

Xét tam giác DEF có: AD ⊥ EF (hai đường phân giác của hai góc kề bù)

Tương tự BE ⊥ DF, CF ⊥ DE

Do đó AD, BE, CF là ba đường cao gặp nhau tại O

Vậy O là trực tâm của tam giác DEF.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 45⁰. Vẽ ra ngoài tam giác này tam giác ADB, EAC vuông cân tại D và E. Vẽ AH ⊥ BC. Chứng minh ba đường thẳng AH, BD, CE đồng quy tại một điểm.

Hướng dẫn giải

Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Xét tam giác ABD vuông cân tại D nên $\widehat {DAB} = {45^0}$

Tam giác CEA vuông cân tại E nên $\widehat {EAC} = {45^0}$

Ta có $\widehat {BAD} + \widehat {BAC} = {45^0} + {135^0} = {180^0}$

Vậy ba điểm A, C, D thẳng hàng.

Chứng minh tương tự: ta được ba điểm A, E, B thẳng hàng

Xét tam giác ABC có AH, BD, CE là ba đường cao

Suy ra ba đường thẳng này đồng quy tại một điểm

=> Điều phải chứng minh

C. Bài tập vận dụng chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Bài 1: Cho tam giác ABC và một điểm O ở trong tam giác. Gọi F, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác AOB và tam giác AOC. Chứng minh ba đường thẳng AO, BF, CG đồng quy

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD. Vẽ các điểm M, N sao cho AB, AC theo thứ tự là các đường trung trực của DM, DN. Gọi giao điểm cua MN với AB và AC theo thứ tự là F và E. Chứng minh ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi O và K lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABH và ACH. Vẽ AD vuông góc với OK. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BO, CK đồng quy.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Dựng tam giác BCD cân tại D biết D khác phía với A đối với đường thẳng BC. Gọi O là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng A, O, D thẳng hàng.

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng.

Bài 6: Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Kẻ AC ⊥ Oy, BD ⊥ Ox (C ∈ Ox, D ∈ Oy). Đường thẳng vuông góc với Ox tại A và đường thẳng vuông góc với Oy tại B cắt nhau tại M. Chứng minh: OM , AC, BD đồng quy.

---------------------------------------------

Ngoài ra GiaiToan mời thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số tài liệu học tập liên quan:

a) HB = HC.

b) Góc BAH = Góc CAH

Chia sẻ bởi: