Nguyên hàm lnx Tính nguyên hàm

1 Đánh giá

Nguyên hàm ln

Cách tính nguyên hàm y = lnx
Bài tập nguyên hàm

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, GiaiToan.com xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Công thức Toán 12: Nguyên hàm lnx. Bộ tài liệu có hướng dẫn chi tiết cách tìm nguyên hàm được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Cách tính nguyên hàm y = lnx

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x} \\ {dv = dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \dfrac{1}{x}dx} \\ {v = x} \end{array}} \right.$

Ta có: $\int {\ln xdx = x\ln x - \int {dx = x\ln x - x + C} }$

Bài tập nguyên hàm

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số $A = \int {x\ln xdx}$

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x} \\ {xdx = dv} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \dfrac{1}{x}dx} \\ {v = \dfrac{{{x^2}}}{2}} \end{array}} \right.$

Khi đó nguyên hàm được tính như sau:

$A = \int {x\ln xdx} = \frac{{{x^2}}}{1}\ln x - \int {\frac{{{x^2}}}{2}.\frac{{dx}}{x} = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x} - \frac{{{x^2}}}{4} + C$

Cách 2:

$\begin{matrix} A = \int {x\ln xdx} \hfill \\ = \int {\ln xd\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} = \dfrac{{{x^2}}}{1}\ln x - \int {\dfrac{{{x^2}}}{2}.d\left( {\ln x} \right)} \hfill \\ = \dfrac{{{x^2}}}{1}\ln x - \int {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{{dx}}{x}} = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + C \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: $B = \int {{x^2}\ln xdx}$

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x} \\ {{x^2}dx = dv} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \dfrac{1}{x}dx} \\ {v = \dfrac{{{x^3}}}{3}} \end{array}} \right.$

Khi đó nguyên hàm được tính như sau:

$B = \int {{x^2}\ln xdx} = \frac{{{x^3}}}{3}\ln x - \int {\frac{{{x^3}}}{3}.\frac{{dx}}{x} = \frac{{{x^3}}}{3}\ln x} - \frac{{{x^3}}}{9} + C$

Cách 2:

$\begin{matrix} B = \int {{x^2}\ln xdx} = \int {\ln xd\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \hfill \\ = \dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x - \int {\dfrac{{{x^3}}}{3}.d\left( {\ln x} \right)} \hfill \\ = \dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x - \int {\dfrac{{{x^3}}}{3}.\dfrac{{dx}}{x} = \dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x} - \dfrac{{{x^3}}}{9} + C \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ 3: Tình nguyên hàm của hàm số $C = \int {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx}$

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} C = \int {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx} \hfill \\ = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \int {xd\left[ {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)} \right]} \hfill \\ = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \int {\frac{{1 + \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}.xdx} \hfill \\ = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \int {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx} \hfill \\ = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \hfill \\ = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \sqrt {1 + {x^2}} + C \hfill \\ \end{matrix}$

----------------------------------------------------

Trên đây GiaiToan đã giới thiệu đến thầy cô và học sinh tài liệu Nguyên hàm Toán 12, hy vọng tài liệu sẽ là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả.

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: