Giaitoan.com Toán 12

Cho hình chóp S.ABC Thể tích khối chóp

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Bài tập Toán 12: Thể tích khối chóp

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, GiaiToan.com xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Toán 12: Thể tích khối chóp. Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc những công thức, phương pháp tính thể tích khối chóp tam giác và các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Công thức thể tích khối chóp

Công thức: V = \frac{1}{3}.S.h

Bài tập tính thể tích khối chóp

Ví dụ 1: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a; \widehat {SBA} = \widehat {SCA} = {90^0}, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng 600. Thể tích khối chóp đã cho bằng:

A. {a^3}

B. \frac{{{a^3}}}{3}

C. \frac{{{a^3}}}{2}

D. \frac{{{a^3}}}{6}

Hướng dẫn giải

Tìm đường cao của hình và khai thác giả thiết góc của hình

Phương pháp:

Bước 1: Xác định đường cao của hình:

Học sinh phải tìm đường cao bằng cách suy ra từ các quan hệ vuông góc giữa đường với đường để chứng minh được đường vuông góc với mặt, hay dựng hình ẩn để xác định đường cao.

Bước 2: Để khai thác được giả thiết góc ta thường làm:

+ Xác định được góc. Trong quá trình xác định góc tránh bẫy khi đưa về góc giữa hai đường thẳng cắt nhai nó là góc không tù.

+ Cần chọn ẩn (là chiều cao hoặc cạnh đáy nếu giả thiết chưa có)

Cho hình chóp SABC

Hai tam giác vuông SAB và SAC bằng nhau chung cạnh huyền SA

Kẻ BI vuông góc với SA => CI cũng vuông góc với SA và BI = CI

Ta có

\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {SA \bot CI} \\ {SA \bot BI} \end{array} \Rightarrow SA \bot \left( {BIC} \right)} \right. \hfill \\ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {V_{A.IBC}} + {V_{S.BCI}} = \dfrac{1}{3}.AI.{S_{IBC}} + \dfrac{1}{3}.SI.{S_{IBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{IBC}}.SA \hfill \\ \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {IB,IC} \right) = {60^0} \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\widehat {BIC} = {{60}^0}} \\ {\widehat {BIC} = {{120}^0}} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Ta có IC = IB < AB = a mà BC = a\sqrt 2

=> Tam giác IBC không thể đều

=> \widehat {BIC} = {120^0}

Trong tam giác IBC đặt BI = CI = x (x > 0) ta có:

\begin{matrix} \cos {120^0} = \dfrac{{I{B^2} + I{C^2} - B{C^2}}}{{2BI.CI}} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2{x^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2{x^2}}} \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} \hfill \\ \Rightarrow IB = IC = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

Tam giác ABI vuông tại I nên AI = \sqrt {A{B^2} - I{B^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

Tam giác SAB vuông tại B, đường cao IB có:

A{B^2} = IA.SA \Rightarrow SA = \frac{{A{B^2}}}{{IA}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = a\sqrt 3

\Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{IBC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.IB.IC.SA.\sin \widehat {BIC} = \frac{{{a^3}}}{6}

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a\sqrt 3

, \widehat {SAB} = \widehat {SCB} = {90^0} và khoảng từ điểm A đên (SBC) bằng a\sqrt 2. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:

A. 2\pi {a^2}

B. 8\pi {a^2}

C. 16\pi {a^2}

D. 12\pi {a^2}

Hướng dẫn giải

Cho hình chóp SABC

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)

Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot SC} \\ {SH \bot BC} \end{array} \Rightarrow HC \bot BC} \right.

Tương tự ta chứng minh được AH \bot AB

Tam giác ABC vuông cân tại B nên ABCH là hình vuông

Gọi O là giao điểm của AC và BH, O là tâm hình vuông

Dựng đường thẳng d qua O vuông góc với (ABCH)

Dựng mặt phẳng trung trực của SA qua trung điểm J cắt d tại I

=> I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Ta có: IJ \bot SA \Rightarrow JI//AB \Rightarrow I = SC \cap d

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:

{r_{S.ABC}} = AI = \sqrt {I{J^2} + J{A^2}} ;IJ = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}

Do AH//(SBC) => d(A; (SBC)) = d(H,(SBC)) = HK

=> HK = a\sqrt 2 \Rightarrow SH = a\sqrt 6 (Tam giác SHC vuông tại H)

=> SA = 3a

JA = \frac{{SA}}{2} = \frac{{3a}}{2} \Rightarrow {r_{S.ABC}} = AI = a\sqrt 3 \Rightarrow S = 4\pi {r^2} = 12\pi {a^2}

Bài tập rèn luyện

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

A. \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}

B. \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}

C. \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}

D. \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, \widehat {SAB} = \widehat {SCB} = {90^0}. Gọi M là trung điểm của SA. Biết khoảng cách từ A đến (MBC) bằng \frac{{6a}}{{\sqrt {21} }}. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

A. \frac{{8{a^3}\sqrt {39} }}{3}

B. \frac{{10{a^3}\sqrt 3 }}{9}

C. \frac{{4{a^3}\sqrt {13} }}{3}

D. 2{a^3}\sqrt 3

----------------------------------------------------

Trên đây GiaiToan đã giới thiệu đến thầy cô và học sinh tài liệu Tính thể tích khối chóp tam giác, hy vọng tài liệu sẽ là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả.

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: Ỉn
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 289
Tìm thêm: Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Tài liệu tham khảo khác

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần