Nguyên hàm cos2x Tính nguyên hàm

2 Đánh giá

Nguyên hàm lượng giác

Nguyên hàm cosx
Nguyên hàm của cos2x

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, GiaiToan.com xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Công thức Toán 12: Nguyên hàm cos2x. Bộ tài liệu có hướng dẫn chi tiết cách tìm nguyên hàm được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Nguyên hàm cosx

$\begin{matrix} \int {\cos xdx = \sin x + C} \hfill \\ \int {\cos u\left( x \right)du\left( x \right) = \sin u\left( x \right) + C} \hfill \\ \end{matrix}$

Nguyên hàm của cos2x

$\int {\cos 2xdx = } \frac{1}{2}\int {\cos 2xd\left( {2x} \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + C}$

Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x . cos2x là:

A. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{{10}} + \frac{{\sin x}}{2} + C$	B. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{5} + \sin x + C$
C. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{6}\sin 3x\sin 2x + C$	D. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{{10}} - \frac{{\sin x}}{2} + C$

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} \int {\cos 3x.\cos 2xdx} \hfill \\ = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 5x + \cos x} \right)dx} \hfill \\ = \dfrac{{\sin 5x}}{{10}} + \dfrac{{\sin }}{2} + C \hfill \\ \end{matrix}$

Đáp án A

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm của hàm số: $C = \int {{{\cos }^2}2xdx}$

Hướng dẫn giải

$C = \int {{{\cos }^2}2xdx} = \int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x} \right)dx} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin 4x + C$

Ví dụ 3: Cho hàm số $D = \int {{{\left( {2 - \cos 2x} \right)}^2}dx}$ . Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho.

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} D = \int {{{\left( {2 - \cos 2x} \right)}^2}dx} = \int {\left( {4 - 4\cos 2x + {{\cos }^{2x}}} \right)dx} \hfill \\ = \int {\left( {4 - 4\cos 2x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 4x} \right)dx} \hfill \\ = \dfrac{9}{2}x - 2\sin 2x + \dfrac{1}{8}\sin 4x + C \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: $B = \int {{{\left( {\cos 2x} \right)}^{13}}dx}$

Hướng dẫn giải

Cách 1:

$\begin{matrix} B = \int {{{\left( {\cos 2x} \right)}^{13}}dx} = \int {{{\left( {\cos 2x} \right)}^{12}}.\cos 2xdx} \hfill \\ = \dfrac{1}{2}\int {{{\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)}^6}d\left( {\sin 2x} \right)} \hfill \\ = \dfrac{1}{2}\int {\left[ {1 - 6{{\sin }^2}2x + 15{{\sin }^4}2x - 20{{\sin }^6}2x + 15{{\sin }^8}2x - 6{{\sin }^{10}}2x + {{\sin }^{12}}2x} \right]d\left( {\sin 2x} \right)} \hfill \\ = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 2x - 2{{\sin }^3}2x + 3{{\sin }^5}2x - \dfrac{{20}}{7}{{\sin }^7}2x + \dfrac{5}{3}{{\sin }^9}2x - \dfrac{6}{{11}}{{\sin }^{11}}2x + \dfrac{1}{{13}}{{\sin }^{13}}2x} \right) + C \hfill \\ \end{matrix}$

Cách 2:

$\begin{matrix} B = \int {{{\left( {\cos 2x} \right)}^{13}}dx} = \int {{{\left( {\sin x} \right)}^4}\left( {\sin 3x} \right)\left( {\cos 10x} \right)dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{8}\int {{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}\left( {\sin 13x + \sin 7x} \right)dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{8}\int {\left( {1 - 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)\left( {\sin 13x + \sin 7x} \right)dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{8}\int {\left( {1 - 2\cos 2x + \dfrac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)\left( {\sin 13x + \sin 7x} \right)dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{{16}}\int {\left( {3 - 4\cos 2x + \cos 4x} \right)\left( {\sin 13x + \sin 7x} \right)dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{6}\int {\left[ {3\left( {\sin 13x + \sin 7x} \right) - 4\cos 2x\left( {\sin 13x + \sin 7x} \right) + \cos 4x\left( {\sin 13x + \sin 7x} \right)} \right]} dx \hfill \\ = \dfrac{1}{6}\int {\left[ {3\left( {\sin 13x + \sin 7x} \right) - 4\cos 2x\left( {\sin 13x + \sin 7x} \right) + \cos 4x\left( {\sin 13x + \sin 7x} \right)} \right]} dx \hfill \\ \end{matrix}$

----------------------------------------------------

Trên đây GiaiToan đã giới thiệu tới các bạn bài Nguyên hàm lượng giác Toán 12. Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán lớp 12. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác để cập nhật được nhiều bài tập hay bổ ích nhé!

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: