Hình vẽ minh họa

Giả thiết: ∆ ABC vuông tại A, BD là phân giác góc B, DE vuông góc với BC, DE cắt AB tại F

Kết luận:

a) ∆ABD = ∆EBD

b) DA = DE

c) DF > DE

Đường trung tuyến là gì?

- Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện trong hình học phẳng.

1. b) Tính M + N

M + N

= -y⁵ + 11y³ – 2y + 8y⁵ – 3y + 1

= (-y⁵ + 8y⁵) + 11y³ + (-2y – 3y) + 1

= 7y⁵ + 11y³ – 5y + 1

a, Xét ΔABD và ΔEBD có:

BD là cạnh chung

góc ABD = góc EBD (BD là tia phân giác của góc ABE)

BA = BE (gt)

=> ΔABD = ΔEBD (c – g - c)

Hướng dẫn giải

A = n³ - n² + n - 1

A = n²(n - 1) + (n - 1)

A = (n - 1)(n² + 1)

Để A nguyên tố thì n > 1

=> n² + 1 > 1

Mà A = (n - 1)(n² + 1) là số nguyên tố, chỉ gồm 2 ước là 1 và chính nó

Nên A = n² + 1; n - 1 = 1

=> n = 2 (Thỏa mãn)

Vậy n = 2 thì A là số nguyên tố

1. b) n⁵- n + 2

= n(n⁴ - 1) + 2

= n(n² - 1)(n² + 1) + 2

= n(n - 1)(n + 1)(n² + 1) + 2

n(n - 1)(n + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp do n ∈N nên n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 3

=> n(n - 1)(n + 1)(n² + 1) + 2 chia 3 dư 2, không là số chính phương

=> Kết luận: …

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABE vuông tại A va tam giác HBE vuông tại H ta có

BE = BE (cạnh chung)

góc ABE= góc HBE (BE là tia phân giác góc B)

=> Tam giác ABE = tam giác HBE (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Ta có:

BA = BH (Tam giác ABE = tam giác HBE)

EA = EH (tam giác ABE = tam giác HBE)

=> BE lá đường trung trực của AH

c) Xét tam giác EKA và tam giác ECH ta có

AE = EH (tam giác ABE = tam giác HBE)

góc EAK= góc EHC

góc AEK= góc HEC (2 góc đối đỉnh)

=> tam giác EKA = tam giác ECH (g-c-g)

=> EK = EC (2 cạnh tương ứng)

d) từ điểm E đến đường thẳng HC ta có:

EH là đường vuông góc (EH vuông góc BC)

EC là đường xiên

=> EH < EC (quan hệ đường xiên đường vuông góc)

mà EH = AE (tam giác ABE= tam giác HBE)

nên AE < EC

Cách 2:

Ta có: p² - 1 = (p - 1)(p + 1)

Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ, suy ra p - 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp. Trong hai số chẵn liên tiếp luôn có một số chia hết cho 4 nên tích (p - 1)(p + 1) chia hết cho 2 . 4 = 8 (1).

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈∈ N)

+ Nếu p = 3k + 1 thì p - 1 = 3k ⋮ 3, do đó tích (p - 1)(p + 1) ⋮ 3

+ Nếu p = 3k - 1 thì p + 1 = 3k ⋮ 3, do đó tích (p - 1)(p + 1) ⋮ 3

Từ hai trường hợp trên suy ra (p - 1)(p + 1) ⋮ 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra (p - 1)(p + 1) ⋮ 3 và 8, do đó (p - 1)(p + 1) ⋮ 24 hay p² - 1 ⋮ 24(đpcm)

Ta thấy: p, q là 2 số nguyên tố lớn hơn 3

=> p lẻ

=> p − 1; p + 1; q − 1; q + 1 ⋮ 2

Do p − 1; p + 1 là 2 số chẵn liên tiếp

=> (p − 1)(p + 1) ⋮ 4.2 = 8

Tương tự với (q − 1)(q + 1)

=> (q−1)(q + 1) ⋮ 8

=> (q−1)(q+1) ⋮ 8.8 = 64

=>(p−1)(p+1)(q−1)(q+1)⋮8.8=64 (1)

Do p−1; p; p+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn có 1 số ⋮ 3 mà p là số nguyên tố

=> p – 1 hoặc p + 1 ⋮ 3

Tương tự với (q−1)(q+1)

=> (q−1)(q+1)⋮3

=> (p−1)(p+1)(q−1)(q+1) ⋮ 3.3 = 9 (2)

Từ (1) và (2)

=> (p−1)(p+1)(q−1)(q+1) ⋮ 64.9 = 576 (điều phải chứng minh)

Hướng dẫn giải

Vì 2010^a + 2011^b > 1

=> 2012^c>1

=> c > 0

=> 2012^c chẵn

=> 2010^a lẻ

=> a = 0

=> 1 + 2011^b = 2012^c

Hướng dẫn giải

a) Ta có: Tam giác ABC vuông tại A

=> AB vuông góc AC

Mà HK cũng vuông góc AC (giả thiết)

=> AB // HK (quan hệ từ vuông góc đến song song)

b, Xét tam giác AKI có:

AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh KI

=> Tam giác AKI cân tại A

c, Ta có: HK // AB (cm câu a)

=> Góc BAK = Góc AKI (2 góc so le trong)

Mà góc AKI = góc AIK (Tam giác AKI cân tại A)

=> Góc BAK = Góc AIK

d, Tam giác AKI cân tại A

=> AH là phân giác góc KAI

Góc KAC = Góc IAC

Xét tam giác AIC và tam giác AKC có:

AC chung

AI = AK

Góc IAC = Góc KAC (cmt)

=> Tam giác AIC bằng tam giác AKC (c – g – c)

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Ta có tam giác ABC cân tại A => AB = AC

Mà AH vuông góc với BC

=> Góc AHB = Góc AHC = 90⁰

Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:

AB = AC

Góc AHB = Góc AHC = 90⁰

=> ΔAHB = ΔAHC (Cạnh huyền – Cạnh góc vuông)

=> HB = HC (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có HB = HC = BC/2 = 8/2 = 4 (cm)

Áp dụng định lí Py – ta – go cho tam giác AHB vuông tại H ta có:

AH² + BH² = AB²

=> AH² = AB² – BH² = 5² – 4² = 25 – 16 = 9

=> AH = 3cm

Hướng dẫn giải

Gọi số điểm 10 của ba bạn Tài, Thảo, Ngân lần lượt đạt được là x, y, z

Theo bài ra ta có:

Số điểm 10 trong kì kiểm tra học kì I của ba bạn Tài, Thảo, Ngân tỉ lệ với 3; 1; 2

=>

Số điểm 10 của cả ba bạn đạt được là 24

=> x + y + z = 24

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

=> x = 3. 4 = 12

=> y = 4 . 1 = 4

=> z = 4 . 2 = 8

=> x = 2; y = 4; z = 8

Vậy bạn Ngân đạt được 8 điểm 10