Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Cho đường thẳng (d): y = mx - 2m - 1 với m là tham số. Tìm m sao cho khoảng cách từ O đến d là lớn nhất Chuyên đề toán 9 thi vào 10

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Tìm m để khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớn nhất là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Đề bài: Cho đường thẳng (d): y = mx - 2m - 1 với m là tham số. Tìm m sao cho khoảng cách từ O đến d là lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với trục Ox, Oy.

Ta có A\left(\frac{2m+1}{m};0\right) và B(0; − 2m − 1)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d, khi đó khoảng cách từ O đến d là OH.
Xét tam giác OAB vuông tại O có: 

\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}

\Leftrightarrow \frac{1}{OH^2}=\frac{m^2}{(2m+1)^2}+\frac{1}{(2m+1)^2}

\Leftrightarrow \frac{1}{OH^2}=\frac{m^2+1}{(2m+1)^2} \Leftrightarrow OH^2=\frac{(2m+1)^2}{m^2+1}

\Leftrightarrow OH^2 - 5=\frac{(2m+1)^2}{m^2+1} -5 (Cộng - 5 vào hai vế để kết quả thu được có dạng hằng đẳng thức)

\Leftrightarrow OH^2 - 5 =\frac{-m^2+ 4m-4}{m^2+1} =\frac{-(m-2)^2}{m^2+1} \le 0

\Leftrightarrow OH^2 \le 5 \Leftrightarrow OH \le \sqrt{5}

Vậy khoảng cách từ O đến d là lớn nhất bằng \sqrt{5} khi m − 2 = 0 ⇔ m = 2.

Cách 2:

Gọi I(x0; y0) là một điểm cố định mà d đi qua.

⇒ y0 = mx0 − 2m − 1 

⇔ m(x0 − 2) − 1 − y0 = 0

⇔ \begin{cases} x_0 -2=0 \\ -1-y_0 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_0 =2 \\ y_0 =-1 \end{cases}

⇒ d đi qua điểm cố định I(2; − 1)

Giả sử H là hình chiếu vuông góc của O lên d ⇒ OH ≤ OI

Ta có: OI = \sqrt{5}

Do đó, OH lớn nhất khi OH = OI = \sqrt{5}.

⇔ \left|\frac{-2m-1}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\sqrt{5}

⇔ 4m2 + 4m + 1 = 5m2 + 5

⇔ m2 − 4m + 4 = 0

⇔ (m− 2)2 = 0

⇔ m = 2.

Vậy m = 2 thì khoảng cách từ O đến d là lớn nhất và bằng \sqrt{5}.

------------------------------------------------------

Công thức tính khoảng cách

Cho điểm M(x0; y0­) và đường thẳng ax + by + c = 0. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là:

d = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}

---------------------------------------------------

Tham khảo thêm

Chia sẻ bởi: Captain
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 14
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

Tài liệu tham khảo khác

Chủ đề liên quan

Mới nhất trong tuần