Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Giải phương trình bậc hai có chứa tham số m Giải phương trình chứa tham số

Nội dung
  • 5 Đánh giá

Giải phương trình bậc hai có chứa tham số m

Cách giải phương trình bậc 2 chứa tham số m lớp 9 là một dạng toán khó, học sinh khi làm bài thường rất dễ mắc sai lầm. Tài liệu được Giaitoan.com biên soạn và trình bày giúp học sinh nắm được cách giải toán lớp 9. Mời bạn đọc và các thầy cô tham khảo!

I. Phương trình bậc hai

1. Cách tìm nghiệm của phương trình bậc hai

• Xác định hệ số a, b, c

• Tính biệt thức Delta, Delta phẩy

• Điều kiện của Delta để phương trình có nghiệm, vô nghiệm, có nghiệm duy nhất

• Hệ thức Viet

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0)

1. Tính biệt thức ∆ = b2 – 4ac

2. So sánh:

• Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

• Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép

• Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}

3. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0)  với b = 2b' có: ∆' = b'2 – 4ac

• Nếu ∆' < 0 thì phương trình vô nghiệm

• Nếu ∆' = 0 thì phương trình có nghiệm kép

• Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

{x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{{2a}}

• Hệ thức Vi-et:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}}\\{P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.

II. Tìm m để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có:

• Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0

• Phương trình vô nghiệm ⇔ ∆ < 0

• Phương trình có nghiệm duy nhất ( nghiệm kép hay hai nghiệm bằng nhau) ⇔ ∆ = 0

• Phương trình có hai nghiệm phân biệt ( khác nhau) ⇔ ∆ > 0

• Phương trình có hai nghiệm cùng dấu: \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \ge 0}\\ {P > 0} \end{array}} \right.

• Phương trình có hai nghiệm trái dấu: \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta > 0}\\ {P < 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow a.c < 0

• Phương trình có hai nghiệm dương (Hai nghiệm lớn hơn 0) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \ge 0}\\ \begin{array}{l} S > 0\\ P > 0 \end{array} \end{array}} \right.

• Phương trình có hai nghiệm âm (Hai nghiệm nhỏ hơn 0) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \ge 0}\\ \begin{array}{l} S < 0\\ P > 0 \end{array} \end{array}} \right.

• Phương trình có hai nghiệm đối nhau \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \ge 0}\\ {S = 0} \end{array}} \right.

• Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \ge 0}\\ {P = 1} \end{array}} \right.

III. Bài tập giải phương trình bậc hai chứa tham số

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) x2 – 2(3m – 1)x + 9m2 – 6m – 8 = 0

b) 3x2 – mx + m2 = 0

c) (m – 1)x2 – 2mx + m + 2 = 0

Hướng dẫn giải

a) x2 – 2(3m – 1)x + 9m2 – 6m – 8 = 0

Ta có:

\begin{array}{l} {\Delta ^\prime } = {\left( {{b^\prime }} \right)^2} - ac = {\left[ { - \left( {3m - 1} \right)} \right]^2} - 9{m^2} + 6m + 8\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,9{m^2} - 6m + 1 - 9{m^2} + 6m + 8\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9 \end{array}

Nhận thấy ∆' > 0 nên phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt :

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \left( {3m - 1} \right) + \sqrt 9 = \left( {3m - 1} \right) + 3 = 3m + 2}\\ {{x_2} = \left( {3m - 1} \right) - \sqrt 9 = \left( {3m - 1} \right) - 3 = 3m - 4} \end{array}} \right.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 = 3m + 2 hoặc x2 = 3m - 4

b) 3x2 – mx + m2 = 0

Ta có:

\begin{array}{l} \Delta = {\left( b \right)^2} - 4ac = {\left[ { - \left( m \right)} \right]^2} - 4.3{m^2}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, - 11{m^2} \end{array}

Nhận thấy:

∆ = 0 ⇔ – 11m2 = 0 ⇔ m = 0 nên phương trình có nghiệm kép

∆ < 0 ⇔ – 11m2 < 0 với m ≠ 0  nên phương trình vô nghiệm

Vậy m = 0 thì phương trình có nghiệm kép; m \ne 0 thì phương trình vô nghiệm

c) TH1: m - 1 = 0 \Leftrightarrow \,\,\,\,m = 1 . Thay vào phương trình ta được:

\begin{array}{l}0x - 2.1.x + 1 + 2 = 0\\ \Leftrightarrow - 2x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\end{array}

TH2:  m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \,\,\,\,m \ne 1. Xét các hệ số a = \left( {m - 1} \right),\,\,\,\,b = \, - 2m \Rightarrow \,\,\,\,{b^\prime } = - m,\,\,\,c = m + 2{\Delta ^\prime } = {m^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) = {m^2} - {m^2} - m + 2 = - m + 2

+ Nếu - m + 2 > 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,m < 2  . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = \dfrac{{m + \sqrt { - m + 2} }}{{m - 1}}}\\{{x_2} = \dfrac{{m - \sqrt { - m + 2} }}{{m - 1}}}\end{array}} \right.

+ Nếu \Delta < 0 \Leftrightarrow - m + 2 < 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,m > 2 . Phương trình vô nghiệm

+ Nếu \Delta = 0 \Leftrightarrow - m + 2 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,m = 2. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 2x2 – 4x + m = 0

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm kép

c) Vô nghiệm

d) Có nghiệm

Hướng dẫn giải 

Xét phương trình 2x2 – 4x + m = 0 với các hệ số a = 2\,\,\left( {a \ne 0} \right),\,\,\,b = - 4,\,\,c = m

Ta có {\Delta ^\prime } = {2^2} - 2m = 4 - 2m

a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì 4 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < 2

b) Để phương trình có nghiệm kép thì 4 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 2

c) Để phương trình vô nghiệm thì:4 - 2m < 0 \Leftrightarrow m > 2

d) Để phương trình có nghiệm thì4 - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình mx2 + 6(m – 2)x + 4m – 7 = 0

a) Có nghiệm

b) Có 2 nghiệm phân biệt

c) Có nghiệm kép

d) Vô nghiệm

Hướng dẫn giải

Xét phương trình m{x^2} + 6\left( {m - 2} \right)x + 4m - 7 = 0 với các hệ số a = m,\,\,b = 6\left( {m - 2} \right)\,\, \Rightarrow \,\,\,{b^\prime } = 3\left( {m - 2} \right),\,\,c = 4m - 7$ .

Ta có: {\Delta ^\prime } = {\left[ {3\left( {m - 2} \right)} \right]^2} - m.\left( {4m - 7} \right) = 9{m^2} - 36m + 36 - 4{m^2} + 7m = 5{m^2} - 29m + 36

a) Để phương trình có nghiệm thì:

Xét  m = 0. Phương trình trở thành:0{x^2} + 6\left( {0 - 2} \right)x + 4.0 - 7 = 0 = - 12x - 7 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 7}}{{12}}

Xét .m \ne 0 {\Delta ^\prime } \ge 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le \frac{9}{5}}\\{m \ge 4}\end{array}} \right.

b) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\Delta ^\prime } > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < \frac{9}{5}}\\{m > 4}\end{array}} \right.}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.

c) Để phương trình có nghiệm kép thì{\Delta ^\prime } = 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \dfrac{9}{5}}\\{m = 4}\end{array}} \right.

d) Để phương trình vô nghiệm thì {\Delta ^\prime } < 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \frac{9}{5} < m < 4

----------------------------------------------------

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 11.658
Tìm thêm: Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần