Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Ứng dụng của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Ứng dụng của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo tài liệu Ứng dụng của hàm số để chứng minh bất đẳng thức . Đây là một trong những dạng toán khó và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, đòi hỏi việc vận dụng linh hoạt các kiến thức Đại số Toán 9. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Kết quả quan trọng

+ Xét hàm sốy = f\left( x \right) = a\,x + b  với m \le x \le n khi đó GTLN, GTNN của hàm số sẽ đạt được tại x = m  hoặc  x = n. Nói cách khác \min \,\mathop {f\left( x \right)}\limits_{m \le x \le n} = \min \left\{ {f\left( m \right);f\left( n \right)} \right\}và {\mathop{\rm m}\nolimits} \,a\,x\,\mathop {f\left( x \right)}\limits_{m \le x \le n} = {\mathop{\rm m}\nolimits} \,a\,x\left\{ {f\left( m \right);f\left( n \right)} \right\} . Như vậy để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f\left( x \right) = a\,x + b với m \le x \le n  ta chỉ cần tính các giá trị biên là f\left( m \right),f\left( n \right) và so sánh hai giá trị đó để tìm GTLN, GTNN

+ Cũng từ tính chất trên ta suy ra Nếu hàm số bậc nhấty = f\left( x \right) = a\,x + b có f\left( m \right),f\left( n \right) \ge 0thì f\left( x \right) \ge 0 với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện:m \le x \le n

2. Các bài toán về ứng dụng hàm số để chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1: Cho các số thực 0 \le x,y,z \le 2 . Chứng minh rằng2\left( {x + y + z} \right) - \left( {xy + yz + zx} \right) \le 4  .

Hướng dẫn giải

Ta coi y,z như là các tham số. x là ẩn số thì bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại như sau f\left( x \right) = \left( {2 - y - z} \right) + 2\left( {y + z} \right) - yz - 4 \le 0 . Để chứng minh\left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) \le 0\\ f\left( 2 \right) \le 0 \end{array} \right. ta chỉ cần chứng minh . Thật vậy ta có

+ f\left( 0 \right) = 2\left( {y + z} \right) - yz - 4 = \left( {y - 2} \right)\left( {2 - z} \right) \le 0  với y,z thỏa mãn: 0 \le y,z \le 2

+f\left( 2 \right) = 2\left( {2 - y - z} \right) + 2\left( {y + z} \right) - yz - 4 = - yz \le 0 với y,z thỏa mãn: 0 \le y,z \le 2

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh: Dấu bằng xáy ra khi và chỉ khi \left( {x;y;z} \right) = \left( {0;2;2} \right)

Ví dụ 2: Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm GTLN của biểu thức P = xy + z + zx - 2xyz

Hướng dẫn giải

Không mất tính tổng quát ta giả sử z = \min \left( {x,y,z} \right) \Rightarrow \dfrac{{x + y + z}}{3} = \dfrac{1}{3}. Ta có 0 \le xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{{\left( {1 - z} \right)}^2}}}{4}

P = xy\left( {1 - 2z} \right) + \left( {x + y} \right)z = xy\left( {1 - 2z} \right) + z\left( {1 - z} \right). Ta coi z là tham số xy là ẩn số thì f\left( {xy} \right) = xy\left( {1 - 2z} \right) + \left( {1 - z} \right)z là hàm số bậc nhất của xy với0 \le xy \le \dfrac{{{{\left( {1 - z} \right)}^2}}}{4} . Để ý rằng 1 - 2z > 0 suy ra hàm số f\left( {xy} \right) = xy\left( {1 - 2z} \right) + \left( {1 - z} \right)zluôn đồng biến. Từ đó suy ra\begin{array}{l} f\left( {xy} \right) \le f\left( {\dfrac{{{{\left( {1 - z} \right)}^2}}}{4}} \right) = \left( {1 - 2z} \right)\dfrac{{{{\left( {1 - z} \right)}^2}}}{4} + z\left( {1 - 2z} \right) = \dfrac{{ - 2{z^3} + {z^2} + 1}}{4}\\ = \dfrac{7}{{27}} - \left( {\dfrac{1}{2}{z^3} - \dfrac{1}{4}{z^4} + \dfrac{1}{{108}}} \right) = \dfrac{7}{{27}} - \dfrac{1}{2}{\left( {z - \dfrac{1}{3}} \right)^3}\left( {z + \dfrac{1}{6}} \right) \le \dfrac{7}{{27}} \end{array}

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = \dfrac{1}{3}

Ví dụ 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiên a+b+c=1

Chứng minh rằng: 5\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 6\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \le 1

Hướng dẫn giải

Không làm mất tính tổng quát giả sử a = \min \left\{ {a,b,c} \right\} \Rightarrow a \le \dfrac{1}{3}: . Bất đẳng thức tương đương với

\begin{array}{l} 5\left( {{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2} - 2bc} \right) \le 6\left[ {{a^3} + {{\left( {b + c} \right)}^3} - 3bc\left( {b + c} \right)} \right] + 1\\ \Leftrightarrow 5\left( {{a^2} + {{\left( {1 - a} \right)}^2} - 2bc} \right) \le 6\left[ {{a^3} + {{\left( {1 - a} \right)}^3} - 3bc\left( {1 - a} \right)} \right] + 1\\ \Leftrightarrow \left( {9a - 4} \right)bc + {\left( {2a - 1} \right)^2} \ge 0 \end{array}

Đặtt = bc  thì  0 < t \le {\left( {\dfrac{{b + c}}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{1 - a}}{2}} \right)^2}. Ta cần chứng minhf\left( t \right) = \left( {9a - 4} \right)t + {\left( {2a - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall t \in \left( {0;{{\left( {\dfrac{{1 - a}}{2}} \right)}^2}} \right]: . Do hàm số nghịch biến \Rightarrow f\left( t \right) \ge f\left( {{{\left( {\dfrac{{1 - a}}{2}} \right)}^2}} \right) = \dfrac{1}{4}a{\left( {3a - 1} \right)^2} \ge 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a = b = c = \dfrac{1}{2}

---------------------------------------------------

Ứng dụng của hàm số để chứng minh bất đẳng thức là phần kiến thức quan trọng thường xuất hiện trong các bài thi, bài kiểm tra môn Toán lớp 9, chính vì vậy việc nắm vững các kiến thức là rất quan trọng giúp các em học sinh có thể đạt điểm cao trong các bài thi của mình. Hy vọng tài liệu trên sẽ giúp các em học sinh ghi nhớ lý thuyết và cách áp dụng từ đó vận dụng giải các bài toán về biểu thức chứa căn lớp 9 một cách dễ dàng hơn. Chúc các em học tốt.

Ngoài ra để có thể ôn tập hiệu quả nhất môn Toán 9 chuẩn bị thi vào lớp 10, các bạn học sinh có thể tham khảo thêm tài liệu:

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 210
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần