Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Bất đẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức

Nội dung
  • 2 Đánh giá

Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức lớp 9 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Bài tập bất đẳng thức gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng toán chứng minh bất đẳng thức lớp 9, vốn là bài tập thường gặp trong câu hỏi phụ của phần Bất đẳng thức. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 và làm tốt đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán sắp tới hiệu quả nhất.

I. Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z ta có các bất đẳng thức như sau:

\begin{array}{l}1)\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\\2)3\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\\3)\,{\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\4)\,\,{\left( {ax + by + cz} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\\5)\,\,8\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \le 9\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\\6)\,{b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} + {a^2}{b^2} \ge abc\left( {a + b + c} \right)\\7)\dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}} \ge \dfrac{1}{{{a^2} + bc}}\\8)\,\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\\9)\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} + \dfrac{{{z^2}}}{c} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\end{array}

2. Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki có lời giải

Ví dụ 1: Cho các số thực dương a, b, c sao cho a + b + c = 3 . Chứng minh:

\dfrac{a}{{a + 2bc}} + \dfrac{b}{{b + 2ac}} + \dfrac{c}{{c + 2ab}} \ge 1

Hướng dẫn giải

\begin{array}{l} \dfrac{a}{{a + 2bc}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2abc}}\\ \dfrac{a}{{a + 2bc}} + \dfrac{b}{{b + 2ac}} + \dfrac{c}{{c + 2ab}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2abc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2abc}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2abc}} \end{array}

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2abc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2abc}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2abc}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6abc}}

Ta cần chứng minh

\,ab + bc + ca \ge 3abc \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 9abc.

Theo bất đẳng thức Cô si ta có:

\,a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}},ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}

Nhân 2 vế các bất đẳng thức dương cùng chiều ta có điều phải chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Ví dụ 2: Cho các số thực dương a, b, c. chứng minh rằng:

\dfrac{{{a^3}}}{{a + 2b}} + \dfrac{{{b^3}}}{{b + 2c}} + \dfrac{{{c^3}}}{{c + 2a}} \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} (*)

Hướng dẫn giải

Ta có

\begin{array}{l}\dfrac{{{a^3}}}{{a + 2b}} = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + 2ab}} \\(*)\Rightarrow VT = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + 2ab}} + \dfrac{{{b^4}}}{{{b^2} + 2bc}} + \dfrac{{{c^4}}}{{{c^2} + 2ac}} \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}\end{array}

Ta cần chứng minh:

\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca (Luôn đúng)

Ví dụ 3: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

\left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) \ge 3{\left( {a + b + c} \right)^2}

Hướng dẫn giải

Ta có:

{\left( {a + b + c} \right)^2} = \left[ {a + \sqrt 2 {{\left( {\dfrac{{b + c}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} \right] \le \left( {{a^2} + 2} \right)\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \right]

=> {\left( {a + b + c} \right)^2} = \left[ {a + \sqrt 2 {{\left( {\dfrac{{b + c}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} \right] \le \left( {{a^2} + 2} \right)\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \right]

Ta cần chứng minh:

3\left( {{a^2} + 2} \right)\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \right] \le \left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right)

hay 3\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \right] \le \left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right)

Sau khi khai triển và thu gọn ta được:\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + {b^2}{c^2} - 3bc + 1 \ge 0

Để ý rằng \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} \ge bc

=> Bất đẳng thức trở thành {b^2}{c^2} - 2bc + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {bc - 1} \right)^2} \ge 0

Ví dụ 4: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

\begin{array}{l}\dfrac{{{a^3}}}{{\left( {2{a^2} + {b^2}} \right)\left( {2{a^2} + {c^2}} \right)}} + \dfrac{{{b^3}}}{{\left( {2{b^2} + {c^2}} \right)\left( {2{b^2} + {a^2}} \right)}} + \dfrac{{{c^3}}}{{\left( {2{c^2} + {a^2}} \right)\left( {2{c^2} + {b^2}} \right)}} \le \dfrac{1}{{a + b + c}}\end{array}

Hướng dẫn giải

Ta mong muốn xuất hiện a + b + c

Ta có:

\begin{array}{l} \left( {2{a^2} + {b^2}} \right)\left( {2{a^2} + {c^2}} \right) = \left( {{a^2} + {b^2} + {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {a^2} + {c^2}} \right) \ge \left( {{a^2} + ab + ac} \right)\\ = {a^2}{\left( {a + b + c} \right)^2} \end{array}

=>  \dfrac{{{a^3}}}{{\left( {2{a^2} + {b^2}} \right)\left( {2{a^2} + {c^2}} \right)}} \le \dfrac{a}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}

Tương tự ta có 2 bất đẳng thức nữa cộng lại thì suy ra điều phải chứng minh.

III. Bài tập vận dụng bất đẳng thức

1. Cho các số thực dương a, b, c sao cho ab + bc + ca + abc \le 4.

Chứng minh rằng: 2abc\left( {a + b + c} \right) \le \dfrac{5}{9} + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2} .

Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 trường Chuyên KHTN ĐHQG HN 2015

2. Cho các số thực dương a, b, c sao cho  ab + bc + ca = 1.

Chứng minh rằng: 2abc\left( {a + b + c} \right) \le \dfrac{5}{9} + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}

3. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

\dfrac{1}{{{a^2} + ab + bc}} + \dfrac{1}{{{b^2} + bc + ca}} + \dfrac{1}{{{c^2} + ca + ab}} \le {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{{ac + ab + bc}}} \right)^2}

------------------------------------

Ngoài Các bất đẳng thức này, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc để bổ sung thêm kiến thức. Chúc các bạn học tập tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 1.801
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần